篮球投射的数学模型数学专业毕业论文

1、篮球投射的数学模型篮球投射的数学模型数学系20021112班 苏之品指导教师 铁 勇摘摘 要要：数学模型是数学中的重要内容之一，建立数学模型有着很强的实用性。该文从出手角度和出手速度等关系入手，对篮球投射问题深入分析，建立其数学模型，并给出详细的求解过程和结果。意在对篮球投射问题做一点研究，体现数学模型的实用性。关键词：关键词：篮球投射；出手角度；数学模型The Mathematical Model of Basketball ThrowingAbstract：Mathematical models are such an important part of the content of mathematics that establishing mathematical models is very practical. Starting with the relationship between throwing angle and throwing speed and so on, this paper thoroughly analyzes the issue of baske

2、tball throwing, establishes a mathematical model for it, and also gives its detailed solution procedure and its results. It aims at making a research into the problem of basketball throwing so as to illustrate the practicality of mathematical models.Key words：basketball throwing; throwing angle; mathematical model1 1 引言引言目前，国外研究篮球问题的角度主要从组合、技术、营养、技巧等方面入手，全方位、多侧面考虑多种因素对投篮效果的影响，建立数学模型进行研究，并打造出了类似NBA的国际知名球赛国外研究考虑的因素虽比较全面,有利于球员的充分发挥,但由于中国球员的身高、体力等与国外球员相比有较大差别, 因此, 此类数学模型不能全部照搬而国内著作在该方面的研究相对较少郭鼎文在文献2

3、中对篮球投射如何使命中率提高作了很好阐述,但没有针对这个问题给出实际有效的模型，以便更好地分析问题；文献3、4、15分别从球员的攻防能力、得分能力、若干技术指标与队员比赛能力方面运用统计学的方法建立模型，并且主要针对CBA等职业球赛的球员的身高、体能等方面的因素作分析，虽然具有一定的实用性，但是缺乏普遍应用性，还有待于更深入地研究本文就是在这样的背景下,对篮球投射的问题作一点讨论运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮圈圈心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮圈圈心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论2 2 问题提出问题提出篮球是一种跳跃运动，而投射是一种常见的投篮动作1，但是运动员如何在投篮的过程中把握好投射，并准确有效地投篮呢？下面针对问题进行详细的分析,并建立数学模型.3 3 问题分析问题分析投射的关键是向上举球和起跳动作协调一致，同时保持篮球在空中最高点

4、被迅速稳定地投出2投球的过程是一个抛物的过程，球飞行的弧线可看作是一条抛物线过去的实验表明，投篮的抛物线过高，球飞行的时间过长，路程也大，受空气的阻力和风力的影响则大，不宜控制球的飞行方向，从而影响投篮的命中率3. 篮球飞行的抛物线太低，球的入射角较小，也难于将篮球投中考虑合理的出手角度和出手速度是解决问题的最大关键4，此时,篮球在飞行过程中受空气阻力、风力的影响等许多次要因素，则可以忽略(不影响投篮的实际效果)4 4 模型假设模型假设（1） 据物理学知识，假设投篮时，篮球与球板的碰撞是完全弹性碰撞5，没有能量损失;（2） 运动员掌握熟练的投篮技术，并能根据实际需要控制球的出手角度与相应出手速度，准确判断出手点与篮圈圈心的水平距离;（3） 运动员有良好的心理素质6,防守队员的防守不影响投篮的命中率;（4） 投篮的运动曲线和篮圈圈心在同一平面内;（5） 忽略空气阻力，篮球在空中的旋转不影响投篮效果;（6） 篮球是一个质点，且这个质点的位置位于球的重心（球心） 5 5 符号说明符号说明：出手点到篮圈圈心的水平距离； 0s：篮圈的半径（0.2m） ；R：篮圈高度（3.05m） ；0H: :

5、出手高度；0h：出手角度；q：最佳出手角度；0q：阴影部分面积；( )Aq：球出手时线速度；v：球的飞行时间（以出手时为零时刻） ；tg：重力加速度；：水平方向上的横坐标（以篮球的出手点为坐标原点） ；x：竖直方向上的纵坐标（以篮球的出手点为坐标原点） ；y：篮圈的圈心坐标（以篮球的出手点为坐标原点） ；00(,)xy：球的入射角度；a6 6 模型建立及求解模型建立及求解 61 投空心篮时的情况分析以篮球出手时篮球球心为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图1：由动力学知弧、的方程为一般性运动轨道方程，可用参数方程（1）描述 时刻A 2opt球的所在位置7, 即:， (1)2 21sincosgtvtyvtx消去参数 得到t， (2) 2 22cos2tanxvgxy若篮球球心恰好通过篮圈圈心，将代入（2）整理得到),(00yx. )tan(cos20022 02 yxgxv(3) 用mathematica软件画出(3)式的图像为（程序如附录1） ，如下图2：RP1P0P2xyo图 1 图 2由抛物线的性质得知，出手角度增大，入射角度也增大，减小，也减小当qaqa减小到以下时, 篮球就会与

6、篮圈相碰而很难进入圈中8, 故若要考虑篮球投中的情况, q30则只需考虑大于的情况即可由图二可以分析出，当大于时, 大增大,增大，q30q30qv这就说明要使篮球运动时通过篮圈圈心，且当篮球的出手角度增大时,球的出手速度也相应增大，由数学知识，结合运动学知识分析（如图3）发现，当球垂直（为时）进入圈a90中时，篮球可以通过的范围是整个篮圈,即直径为45cm的圆圈. 如图3中的甲图所示，小a于时篮球可以通过篮圈的范围变成了一个椭圆（长轴等于篮圈的直径，如图3中的乙、90丙） ，从上面可以看出，增大，增大，也增大，篮球可以通过的范围（椭圆面积）也vqa增大，从一定程度上说提高了投篮命中率，反之，则使篮球可以通过的范围变小但是否、越大越好呢？我们将作进一步讨论vqov甲乙丙图 3据公式（3）可以求出当篮球的出手角度为时，要求能使篮球投入篮圈的出手速度87为20米/秒，这个速度远远超过了任何运动员用任何投球方式所能达到的速度9说明、v并不是可以无限地增大，那么考虑、为多大时，才能使投球效果最佳，而又切合实qvq际呢？根据(2)式设的方程为A 1op, (4)2 22 01tan2cosgyxx

7、vqq=-由曲线过点,有A 1op1000(,)p sR Hh-, (5) 000 222 010()tan() 2cos()sRHhg vsRq q-=-故的方程为A 1op， (6)2000 2 0()tan()tan()sRHhyxxsRqq-=-同理，过点,且的方程为A 2op2000(,)p sR Hh+-A 2op， (7)2000 2 0()tan()tan()sRHhyxxsRqq+-=-+写出直线，的方程1op2op直线的方程为1op， (8)000HhyxsR-=-直线的方程为2op， (9)000HhyxsR-=+求阴影面积，有( )AqdxxRshHxRshHRsxAARsoop)()(tan)(tan0002 2 00000101，2 00000000111() tan()tan() ()()()232sRsRHhsRsR Hhqq=-(10)dxxRshHxRshHRsxAARsoop)()(tan)(tan0002 2 00000202， 2 00000000111() tan()tan() ()()()232sRsRHhsRsR Hhqq=+-+-+-+

8、-(11)， (12)()(2210000321hHRhHRAApop故. (13)21300024( )tan()33AAAAs RR Hhqq=-=-由的表达式可以看出，越大（即越大，） ，越大，但事实( )Aqtanqqq90( )Aq上,投篮初速度只能在某一范围内变化10，由（3）式知，相应的出手角度也只能在某一范围内变化，所以只可能在某一范围变化为求在所给定的范围内使达到最tanqtanq( )Aq大时的值，我们把化为关于初速度 的函数来求极大值11( )Aqv回到运动方程， (14)2 22tan2cosgyxxvqq=-设它过点,将此坐标代入(14)式有00( ,)s Hh-00,ssR sR-+， (15)2 0022tan2cosgHhssvqq-=-从而， (16)200 22tan()(1tan)2sHhg vsqq-+=这是关于的一元二次方程，取其较小的根tanq， (17)24222 001tan(2()vvvHh gg sgsq=-其中，应满足2v (18)0)(222 0024sgghHvv解上述不等式，得到 (19)222 0000()vg HhHhs-+-+又因为, (20)42222 0000 24222 002()()tan0()2()vvHh gg svHh gd d vgs vvHh gg sq-+-= -所以，是的严格单调减函数12，当 达到最小值时，达到最大值，由于tan2v2vtan, (21)()(222 00002svshHhHgvm故有 , (22)220000 01maxtan( )()1tan( )mHhHhvssgsssqq-=+=(23)从（23）式可以看出，是关于的单调减函数，所以,)(0ss， (24) 1)(arctan)(2000000 0RshH RshHsq另一方面, (25)

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