考研数学讲义
43页1、2015 年考研数学第 4248讲,(数一,多元积分)第第 42 讲讲. 向量代数撑“空解”向量代数撑“空解”“平解”依靠平面直角坐标系,重在“轨迹”与方程。 “空解”依靠空间直角坐标系。通常将 x 轴正向指向我们, y 轴正向指向右,z 轴正向 指向上。 “空解”的第一工具是“向量代数”。 其主要内容是(三维空间的)自由向量集与 该集合上的线性运算(加法和数乘),向量的数量积和向量积。向量的投影。 1向量代数向量代数自由向量可以在空间中任意平行移动,而保持大小及方向不变。 自由向量的两要素自由向量的两要素 模长和指向模长和指向。规定零向量的模长为零,方向不定。 向量的两要素表示法向量的两要素表示法 若把向量a的模长记为| a ,与 a 同方向的单位向量记为0a,则 向量 a 有两要素表示法两要素表示法 0|aaa=自由向量自由向量a的坐标的坐标 分别选与三坐标轴同方向的单位向量 i,j,k(或记为1e,2e,3e)为基向量组。这是三维向量空间的一个规范正交最大无关组。任意一个自由自由向量a ,不妨认为其起点是原点。总可以唯一地被基向量组线性表示。即 kajaiaa321+=,就称有序
2、(实)系数组 , ,321aaa 为 向量a的坐标。(潜台词:对比一下,向量组的“最大无关组”,本质上就是一组“斜”坐标基。)向量向量21MM的坐标为 , ,121212zzyyxx(潜台词:终点坐标 起点坐标。)方向余弦方向余弦 单位向量0a的三个坐标,恰好是该方向分别与三坐标轴夹角的余弦。从而向量的两要素表示法又可以记为 cos ,cos ,cos| aa=cos ,cos ,cos,称为向量 a 的方向余弦。向量的数量积向量的数量积 向量 , ,321aaaa= 和 , ,321bbbb=的数量积(又称为点积),是两个向量按照规则对应于一个确定的数,即 332211),cos( | |babababababa+=向量数量积的物理模型向量数量积的物理模型 常力 F使物体有位移矢量L ,所做的功,等于向量 F 与L 的数量积。向量的向量积向量的向量积 向量 , ,321aaaa= 和 , ,321bbbb=向量积是一个向量。 它的模长 0,绕z 轴旋转产生园锥面 22yxkz+=;它是球坐标系的又一坐标曲面簇。数k 是园锥面的半顶角的余切。锥面 22yxkz+=向上无限伸展。 显然,
3、锥面上各点处的外法向与 z 轴成钝角,内法向与z 轴成锐角。其中,外法向为 (2222, yxkyyxkx+,1)例例 22 已知点A (1, 0, 0) 与点 B (0, 1, 1) ,把线段 AB绕 z 轴旋转一周所成的旋转面记为 S ,求S 和平面 z = 0 ,z = 1 所围成的立体体积。分析分析 立体的任意一个水平剖面为一个园盘: x2 + y2 R2 (z) ,0z1 其中,半径R (z) 就是直线段AB 上点 M (x, y, z) 和 点(园心)(0, 0, z)之间的距离。因而 关键的工作是求出 直线段直线段 ABAB 的以的以 z z 为参数的参数方程为参数的参数方程。 实际上,向量AM与AB线性相关。 (x 1,y,z) = t(1,1,1) 线段AB 有参数方程,x =1 t ,y = t ,z = t , 即 x =1 z ,y = z ,z = z 10由微元分析法知 zdzRdV )(2=,从而 =1 0 2)(zdzRV (32=V)例例 23 求曲面 zzyxn=+)(222,n 为自然数,所围成的立体体积。分析分析 曲面即为 nzzyx/1222=
4、+,由基本初等函数 u = z 2 和 nzu/1=的知识可以判定 0z1 ;否则,若 z 1,则 nzz/12,与方程式矛盾。对旋转体作微元分析,zdzRdV )(2= ,0z1,2/12)(zzzRn= ,从而有+=1 0 2/1)31 1( )(nnzdzzVn2。空间曲线在。空间曲线在 xoy 坐标面上的投影坐标面上的投影怎样求得空间区域 在 xoy 面上的投影呢?正如在本讲首节柱面柱面 与“投影柱面”“投影柱面”所 言,你先得将它表示为一张“母线平行于 z 轴的柱面”与另一张曲面的交线。 空间曲线在空间曲线在 xoy坐标面上的投影坐标面上的投影,是投影柱面是投影柱面(过空间曲线且母线平行于 z 轴的柱 面)与与 xoy 面的交线。面的交线。 由空间曲线一般式中的两个方程消去变元 z ,就得到将曲线向 xoy 面投影的投影柱面 H (x, y) = 0 ,投影方程为 H (x, y) = 0,z = 0特别的是,空间曲线 =0) ,( 0) , ,( yxGzyxF在 xoy 面上的投影就是 0) ,(=yxG按“投影柱面”“投影柱面”思路可以扩展一步,“求直线在任一平面内的投
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