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考研数学讲义

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  • 卖家[上传人]:xzh****18
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    • 1、2015 年考研数学第 4248讲,(数一,多元积分)第第 42 讲讲. 向量代数撑“空解”向量代数撑“空解”“平解”依靠平面直角坐标系,重在“轨迹”与方程。 “空解”依靠空间直角坐标系。通常将 x 轴正向指向我们, y 轴正向指向右,z 轴正向 指向上。 “空解”的第一工具是“向量代数”。 其主要内容是(三维空间的)自由向量集与 该集合上的线性运算(加法和数乘),向量的数量积和向量积。向量的投影。 1向量代数向量代数自由向量可以在空间中任意平行移动,而保持大小及方向不变。 自由向量的两要素自由向量的两要素 模长和指向模长和指向。规定零向量的模长为零,方向不定。 向量的两要素表示法向量的两要素表示法 若把向量a的模长记为| a ,与 a 同方向的单位向量记为0a,则 向量 a 有两要素表示法两要素表示法 0|aaa=自由向量自由向量a的坐标的坐标 分别选与三坐标轴同方向的单位向量 i,j,k(或记为1e,2e,3e)为基向量组。这是三维向量空间的一个规范正交最大无关组。任意一个自由自由向量a ,不妨认为其起点是原点。总可以唯一地被基向量组线性表示。即 kajaiaa321+=,就称有序

      2、(实)系数组 , ,321aaa 为 向量a的坐标。(潜台词:对比一下,向量组的“最大无关组”,本质上就是一组“斜”坐标基。)向量向量21MM的坐标为 , ,121212zzyyxx(潜台词:终点坐标 起点坐标。)方向余弦方向余弦 单位向量0a的三个坐标,恰好是该方向分别与三坐标轴夹角的余弦。从而向量的两要素表示法又可以记为 cos ,cos ,cos| aa=cos ,cos ,cos,称为向量 a 的方向余弦。向量的数量积向量的数量积 向量 , ,321aaaa= 和 , ,321bbbb=的数量积(又称为点积),是两个向量按照规则对应于一个确定的数,即 332211),cos( | |babababababa+=向量数量积的物理模型向量数量积的物理模型 常力 F使物体有位移矢量L ,所做的功,等于向量 F 与L 的数量积。向量的向量积向量的向量积 向量 , ,321aaaa= 和 , ,321bbbb=向量积是一个向量。 它的模长 0,绕z 轴旋转产生园锥面 22yxkz+=;它是球坐标系的又一坐标曲面簇。数k 是园锥面的半顶角的余切。锥面 22yxkz+=向上无限伸展。 显然,

      3、锥面上各点处的外法向与 z 轴成钝角,内法向与z 轴成锐角。其中,外法向为 (2222, yxkyyxkx+,1)例例 22 已知点A (1, 0, 0) 与点 B (0, 1, 1) ,把线段 AB绕 z 轴旋转一周所成的旋转面记为 S ,求S 和平面 z = 0 ,z = 1 所围成的立体体积。分析分析 立体的任意一个水平剖面为一个园盘: x2 + y2 R2 (z) ,0z1 其中,半径R (z) 就是直线段AB 上点 M (x, y, z) 和 点(园心)(0, 0, z)之间的距离。因而 关键的工作是求出 直线段直线段 ABAB 的以的以 z z 为参数的参数方程为参数的参数方程。 实际上,向量AM与AB线性相关。 (x 1,y,z) = t(1,1,1) 线段AB 有参数方程,x =1 t ,y = t ,z = t , 即 x =1 z ,y = z ,z = z 10由微元分析法知 zdzRdV )(2=,从而 =1 0 2)(zdzRV (32=V)例例 23 求曲面 zzyxn=+)(222,n 为自然数,所围成的立体体积。分析分析 曲面即为 nzzyx/1222=

      4、+,由基本初等函数 u = z 2 和 nzu/1=的知识可以判定 0z1 ;否则,若 z 1,则 nzz/12,与方程式矛盾。对旋转体作微元分析,zdzRdV )(2= ,0z1,2/12)(zzzRn= ,从而有+=1 0 2/1)31 1( )(nnzdzzVn2。空间曲线在。空间曲线在 xoy 坐标面上的投影坐标面上的投影怎样求得空间区域 在 xoy 面上的投影呢?正如在本讲首节柱面柱面 与“投影柱面”“投影柱面”所 言,你先得将它表示为一张“母线平行于 z 轴的柱面”与另一张曲面的交线。 空间曲线在空间曲线在 xoy坐标面上的投影坐标面上的投影,是投影柱面是投影柱面(过空间曲线且母线平行于 z 轴的柱 面)与与 xoy 面的交线。面的交线。 由空间曲线一般式中的两个方程消去变元 z ,就得到将曲线向 xoy 面投影的投影柱面 H (x, y) = 0 ,投影方程为 H (x, y) = 0,z = 0特别的是,空间曲线 =0) ,( 0) , ,( yxGzyxF在 xoy 面上的投影就是 0) ,(=yxG按“投影柱面”“投影柱面”思路可以扩展一步,“求直线在任一平面内的投

      5、影。” 直线在平面内的投影直线在平面内的投影 直线在平面内的投影,是投影平面(过直线且垂直于已知 平面的平面)与已知平面的交线。例例 26 求直线L:11 111 =zyx在平面 012=+zyx上的投影直线 L0 ,并求L0 绕 y 轴旋转一周所得曲面的方程。分析分析 按作图步骤计算。按作图步骤计算。 先求投影柱面,本题中即是过L且垂直于已知平面的平面。 用 “单参数平面族”方法,将过L 的平面方程记为(实际上不包含平面01=+zy): 0)1(1=+zyyx; ,1 ,1=n,要 n和 )2, 1, 1(1=n垂直,用点积公式算出2=;所求投影直线 L0有一般式方程:=+=+0123012zyxzyx或 =) 1(2yzyx21设旋转面上任意一点为(x, y, z),必在相应的一个园周上。从而有(半径 = 半径)2222)1(21()2(+=+yyzx 即 0124174222=+yzyx11例例 27 (1)曲线=+=+RxyxRzyx222222在 xoy 坐标面上的投影为22Rxyx=+(2)曲线 +=226yxzyxz22在 xoy坐标面上的投影为4 22=+yx分析分析

      6、曲线(1)是园柱面与球面的交线 。园柱面是它的投影柱面。 求曲线(2)在 xoy坐标面上的投影,要先从两张曲面方程中消去 z ,还要以22yxr+=为未知量,解一元二次方程得 222=+yx空间曲面块S 在x o y 面上的一对一投影一对一投影,就是 S的边界曲线在xoy 面上的投影所围成 的区域。 例27中曲线(1)的投影所围成的区域Rxyx+22,即是上半球面222yxRz= 被柱面Rxyx=+22所截下的部份,在x o y 面上的一对一投影一对一投影。例27中曲线(2)的投影所围成的区域422+yx,即是开口向下的旋转抛物面,被锥面所截下的部份,在x o y 面上的一对一投影一对一投影。也是锥面被旋转抛物面所截下的部份,在 x o y面上的一对一投影一对一投影。例例 28 求空间区域在xoy 面上的投影。(1)由 222Ryx+ 和 22222244yxRzyxR 所限区域 1(2)由曲面 0 , 1 , ,222=+=zyxyyxz 围成的区域 2分析分析 1的上、 下边界面分别是上半、 下半球面的部分块,它以园柱面 222Ryx=+ 为侧面。 1所相应的投影区域 Dx y ,

      7、是222Ryx+2 的下边界面显然是z = 0 ,而上边界面 22yxz+= ,它有两张母线平行于 z 轴的柱面组成的側面。且此側面在 xoy面上的投影是一条封闭曲线。所以,这条曲线所围平面区域 就是2的投影。即 Dxy 0y1,yxy (潜台词:都是广义的曲顶柱体。)例例 29 计算曲线 =0 ) , ,( 0) , ,( zyxGzyxF在 xoy 坐标面的投影上点) ,(yxM处的切线斜率。解解 设方程F (x, y, z) = 0确定了隐函数z = z (x, y) ,又设想将它代入下一方程得 G (x, y, z (x, y) = 0 ,这是一张母线平行于这是一张母线平行于 z z 轴的柱面轴的柱面。 它与F (x, y, z) = 0联列,还表示原曲线。因而它和xoy 面的交线即是曲线的投影。投影方程还是 G (x, y, z (x, y) = 0 用公式法求隐函数的导数,在投影上任意一点) ,(yxM ,12zx FF xz=, zy FF yz=, yzzyxzzxzyzxyx FGFGFGFGyzGGxzGGGG dxdy =+ =(画外音: 如果读者求出曲线在 M

      8、(x, y, z)处的切线,并继续求出切线在 xoy面上的投 影。就会得到一个有趣的结论:“曲线的切线在曲线的切线在 xoy 面上的投影,恰好是它的投影在相面上的投影,恰好是它的投影在相 应投影点处的切线。应投影点处的切线。”这是一个很好的综合计算题。 一般情况下,我们可以作 在yoz 面(或 zox 面)上的剖面图,(截痕图),来具体 观察。也可以分析已知曲面方程,先判定区域的上下边界面及側面。第第 44讲讲. “先一后二”算“三重”先一后二”算“三重”从微元法思路出发,处理平面区域D 上二重积分,或求 D 向 x 轴的投影区间,对 D 作 竖直分割。化二重积分为先对y 后对 x的逐次积分。或求D 向 y 轴的投影区间,对 D 作水平 分割。化二重积分为另一顺序的逐次积分。 同样,从微元法思路出发,在直角坐标系或柱坐标系下,在直角坐标系或柱坐标系下,计算具有连续体密度 f (x, y, z) 的空间区域 的质量,即三重积分,需要先求出 在 xoy面上的投影D x y ,对 作竖直分割。先对z 作定积分,再于 D x y 二重积分。 1。在直角坐标系或柱坐标系下计算。在直角坐标系或柱坐

      9、标系下计算三重积分三重积分假设过 D x y 上任意一点 (x, y) ,且垂直于 xoy 面的直线,最多只和区域 的边界曲面 有两个交点,即区域 可以表示为) ,() ,( ,) ,(|) , ,(21yxzzyxzDyxzyxxy=其中 z = z1 (x, y) 称为 的下边界面, z = z2 (x, y) 为上边界面。 这时,三重积分可以通过“先一后二”降维法“先一后二”降维法化为三次定积分。 在直角坐标系及柱坐标系下分别有dvzyxf),(=dzzyxfdxdyyxzyxzD),(),(),(21 dvzyxf),(=dzzrrfdrdrrrzrrzD),sin,cos()sin,cos()sin,cos(21 (潜台词:粗想柱坐标。即,竖直方向对 z 积分,投影上用极坐标作二重积分。) 例例 32 试证明曲面 122+=yxz 上任意一点 M 处的切平面和曲面 22yxz+= 所围成的体积为定值。 分析分析 所讨论区域由上下边界面围成。上下边界面围成。 显然,曲面 122+=yxz 的切平面是区域的上边界面,曲面 22yxz+= 是区域的下边界面。设切点为) , ,(000zyx,用替换法得到切平面方程1 , 122 02 00000+=+=+yxzyyxxzz即 2 02 000122yxyyxxz+=13上、下边界面方程联列消z 得 Dxy为 1)()(2 02

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