数学建模实践讲稿

1、East China Institute of Technology 理学院 数学系 数学建模 王泽文王泽文 20132013年年1 1月月8 8日日 East China Institute of Technology 理学院 数学系 第第一一章章 建立数学模型建立数学模型 1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型 1.2 数学建模案例数学建模案例 1.3 数学建模论文的写作数学建模论文的写作 1.4 要求与考核要求与考核 East China Institute of Technology 理学院 数学系 玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型 地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型 模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物 模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征。中人们需要的那一部分特征。 1.1 从现实对象

2、到数学模型从现实对象到数学模型 我们常见的模型我们常见的模型 East China Institute of Technology 理学院 数学系 最简单的数学模型之一最简单的数学模型之一“航行问题”航行问题” 用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程： 75050)(75030)( =+ yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. . 甲乙两地相距甲乙两地相距750千米千米，船从甲到乙顺水航行需船从甲到乙顺水航行需30小小 时时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时小时，问船的速度是多少问船的速度是多少? x =20 y =5 求解求解 East China Institute of Technology 理学院 数学系 航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学

3、式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。 East China Institute of Technology 理学院 数学系 数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和 数学建模（数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个为了一个特定目的特定目的， 根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的作出必要的简化假设简化假设， 运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个得到的一个数学结构数学结构。 通过对实际问题的抽象通过对实际问题的抽象、简化简化，确定变量和参数确定变量和参数，并应用某些并应用某些规律规律建立起变量建立起变量、参数间的确定参数间的确定的数学问题的数学问题（数学模型数学模型），然后求解该数学问题然后求解该数学问题，解释验证所得到的解解释验证所得到的解，从而确定能否用于解决问从而确定能否用于解决问题多次循环题多次循环、不断深化的过程不断深化的

4、过程。简而言之简而言之，即建即建立数学模型的全过程立数学模型的全过程（包括表述包括表述、求解求解、解释解释、检验等检验等）。 数学数学 模型模型 数学数学 建模建模 East China Institute of Technology 理学院 数学系 数学建模的基本方法数学建模的基本方法 机理分析机理分析 测试分析测试分析 根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律。找出反映内部机理的数量规律。 将对象看作“黑箱”将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型。统计分析，找出与数据拟合最好的模型。 数学建模没有统一的方法，下面通过几个实例研究数学建模没有统一的方法，下面通过几个实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。来学习。以下建模主要指机理分析。 二者结合二者结合 用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数。用测试分析确定模型参数。 1.2 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 East China Institute of Technolog

5、y 理学院 数学系 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 模型准备模型准备 模型假设模型假设 模型构成模型构成 模型求解模型求解 模型分析模型分析 模型检验模型检验 模型应用模型应用 模模 型型 准准 备备 了解实际背景了解实际背景 明确建模目的明确建模目的 搜集有关信息搜集有关信息 掌握对象特征掌握对象特征 形成一个形成一个 比较清晰比较清晰 的的问题问题 East China Institute of Technology 理学院 数学系 模模 型型 假假 设设 针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中 模模 型型 构构 成成 用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力发挥想像力 使用类比法使用类比法 尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 East China Institute of Technology 理学院 数学系 模型模型 求解求解 各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差

6、分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析 模型模型 分析分析 模型模型 检验检验 与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性 模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 East China Institute of Technology 理学院 数学系 数学建模的全过程数学建模的全过程 现实对象的信息现实对象的信息 数学模型数学模型 现实对象的解答现实对象的解答 数学模型的解答数学模型的解答 表述表述 求解求解 解释解释 验证验证 (归纳) (演绎) 表述表述 求解求解 解释解释 验证验证 根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答 实践 现现 实实 世世 界界 数数 学学 世世 界界 理论 实践 East Ch

7、ina Institute of Technology 理学院 数学系 1.2 数学建模示例数学建模示例 案例1 人口增长的微分方程模型人口增长的微分方程模型 案例2 血管的三维重建血管的三维重建 案例3 泄洪设施修建计划泄洪设施修建计划 案例4 灰色灰色GM(1,1)预测的基本方法预测的基本方法 East China Institute of Technology 理学院 数学系 背景背景 世界人口增长概况世界人口增长概况 美国人口增长概况美国人口增长概况 案例案例1 人口增长的微分方程模型人口增长的微分方程模型 East China Institute of Technology 理学院 数学系 中国人口增长概况中国人口增长概况 研究人口变化规律研究人口变化规律 控制人口过快增长控制人口过快增长 East China Institute of Technology 理学院 数学系 指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 ( (1798) ) 常用的计算公式常用的计算公式 kkrxx)1 (0+=x(t) 时刻时刻t的的人口人口 基本假设基本假设 : 人口人口(相对相对)增

8、长率增长率 r 是常数是常数 trtxtxttx=+ )()()(今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 r k年后人口年后人口 0)0(,xxrxdtdx=rtextx0)(=trextx)()(0=trx)1 (0+随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长 East China Institute of Technology 理学院 数学系 指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程 1919世纪后人口数据世纪后人口数据 人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) ) East China Institute of Technology 理学院 数学系 阻滞增长模型阻滞增长模型( (L

9、ogistic模型模型) ) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用环境等因素对人口增长的阻滞作用。 且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设假设 ) 0,()(=srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时) xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） )1 ()(mxxrxr=r是是x的减函数的减函数 mxrs =0)(=mxrEast China Institute of Technology 理学院 数学系 rxdtdx=)1 ()(mxxrxxxrdtdx=dx/dt x 0 xm xm/2 xm x tx x xemmrt( ) ()= +110t x 0 x(t)S形曲线形曲线, x增加先快后慢增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) ) East China Institute of Technology 理学院 数学系 参数估计参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万） 专家估计专家估计 阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) ) r=0.2557, xm=392.1 East China Institute of Technology 理学院 数学系 模型检验模型检验 用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较 / )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx+=+=实际为实际为281.4 (

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