2012年数学一轮复习精品试题第47讲 直线、平面垂直的判定及其性质

1、第四十七讲第四十七讲 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质班班级级 姓名姓名 考号考号 日期日期 得分得分 一、选择题：一、选择题：(本大题共本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后分，将正确答案的代号填在题后的括号内的括号内.)1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线( )A.平行平行 B.相交相交 C.异面异面 D.垂直垂直解析：解析：这这支支铅铅笔与地面存在三种位置关系，若在地面内，笔与地面存在三种位置关系，若在地面内，则则 C 排除；若与地面平行排除；若与地面平行则则 B排除；若与地面相交，排除；若与地面相交，则则 A 排除，排除，选选 D.答案：答案：D2.若若 m、n 是两条不同的直线，是两条不同的直线，、 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A.若若 m，则，则 mB.若若 m，n，mn，则，则 C.若若 m，m，则，则 D.若若 ，则，则 解析：解

2、析：两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线线都与另一平面垂直，故都与另一平面垂直，故 A 为为假命假命题题；以三棱柱的；以三棱柱的侧侧面和面和侧侧棱棱为为例知例知 B 为为假命假命题题；若；若 ， ， ，则则 或或 ，故，故 D 为为假命假命题题；若；若 m， ，则则 中必存在直中必存在直线线 l 与与 m 平行，又平行，又 m， ，l，故，故 ，故，故选选 C.答案：答案：C3.(改改编题编题)设设 P 是是ABC 所在平面外一点，所在平面外一点，P 到到ABC 各顶点的距离相等，而且各顶点的距离相等，而且 P 到到ABC 各边的距离也相等，那么各边的距离也相等，那么ABC( )A.是非等腰的直角三角形是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形是等腰直角三角形C.是等边三角形是等边三角形D.不是不是 A、B、C 所述的三角形所述的三角形解析：解析：设设 O 是点是点 P 在平面在平面 ABC 内的射影，因内的射影，因为为 P 到到ABC 各各顶顶点的距离相等，所以点的距离相等，所以O 是三角形的外心，又是三角形的外心，又 P 到到ABC 各各边边

3、的距离也相等，所以的距离也相等，所以 O 是三角形的内心，故是三角形的内心，故ABC是等是等边边三角形，三角形，选选 C.答案：答案：C4.把等腰直角把等腰直角ABC 沿斜边上的高沿斜边上的高 AD 折成直二面角折成直二面角 BADC，则，则 BD 与平面与平面 ABC所成角的正切值为所成角的正切值为 ( )A. B. C.1 D.22233解析：解析：如如图图，在面，在面 ADC 中，中，过过 D 作作 DEAC，交，交 AC 于点于点 E.连连接接 BE，因，因为为二面角二面角 BADC 为为直二面角，所以直二面角，所以 BD平面平面 ADC，故，故 BDAC.由以上可知，由以上可知，AC平面平面 BDE，所以平面，所以平面 BDE平面平面 ABC，故，故DBE 就是就是 BD 与平面与平面ABC 所成角，在所成角，在 RtDBE 中，易求中，易求 tanDBE，故，故选选 B.22答案：答案：B5.如图，已知如图，已知ABC 为直角三角形，其中为直角三角形，其中ACB90，M 为为 AB 的中点，的中点，PM 垂直于垂直于ACB 所在平面，那么所在平面，那么( )A.PAPBPC

4、B.PAPBPCC.PAPBPCD.PAPBPC解析：解析：M 为为 AB 的中点，的中点，ACB 为为直角三角形，直角三角形，BMAMCM，又，又 PM平面平面ABC， ，RtPMBRtPMARtPMC，故，故 PAPBPC.选选 C.答案：答案：C6.(2010郑郑州州质检质检)在边长为在边长为 1 的菱形的菱形 ABCD 中，中，ABC60，将菱形沿对角线，将菱形沿对角线 AC 折折起，使折起后起，使折起后 BD1，则二面角，则二面角 BACD 的余弦值为的余弦值为( )A. B. C. D.13122 2332解析：解析：在原在原图图中中连连接接 AC 与与 BD 交于交于 O 点，点，则则 ACBD，在折起后的，在折起后的图图中，由四中，由四边边形形ABCD 为为菱形且菱形且边长为边长为 1， ，则则 DOOB，由于，由于 DOAC，因此，因此DOB 就是二面角就是二面角32BACD 的平面角，由的平面角，由 BD1得得 cosDOB ，故，故选选 A.OD2OB2DB22ODOB343412 323213答案：答案：A二、填空题：二、填空题：(本大题共本大题共 4 小题，每

5、小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分，把正确答案填在题后的横线分，把正确答案填在题后的横线上上.)7.正正四棱锥四棱锥 SABCD 的底面边长为的底面边长为 2，高为，高为 2，E是是边边 BC 的中点，动点的中点，动点 P 在表面上在表面上运动，并且总保持运动，并且总保持 PEAC，则动点，则动点 P 的轨迹的周长为的轨迹的周长为 .解析：解析：如如图图，取，取 CD 的中点的中点 F、 、SC 的中点的中点 G， ，连连接接 EF， ，EG， ，FG， ，EF 交交 AC 于点于点 H，易知，易知ACEF，又，又 GHSO， ，GH平面平面 ABCD， ，ACGH， ，AC平面平面 EFG， ，故点故点 P 的的轨轨迹是迹是EFG， ，其周其周长为长为.26答案：答案：268. 如图，在三棱柱如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱中，侧棱 AA1底面底面 ABC，底面是以，底面是以ABC 为直角为直角的等腰直角三角形，的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D 是是 A1C1的中点，点的中点，点 F 在线段在线段 AA1上，当上，当 AF 时，时，CF平面平面 B1DF

6、.解析：解析：由由题题意易知，意易知，B1D平面平面 ACC1A1，所以，所以 B1DCF.要使要使 CF平面平面 B1DF， ，只需只需 CFDF 即可即可.令令 CFDF， ，设设 AFx， ，则则 A1F3ax.由由 RtCAFRtFA1D，得，得， ，ACA1FAFA1D即即 ， ，2a3axxa整理得整理得 x23ax2a20， ，解得解得 xa 或或 x2a.答案：答案：a 或或 2a9.、 是两个不同的平面，是两个不同的平面，m、n 是平面是平面 及及 之外的两条不同直线，给出四个论断：之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .解析：解析：由由题题意构作四个命意构作四个命题题： ：(1)； ；(2)； ；(3)； ；(4).易判断易判断(3)、 、(4)为为真，真，应应填填 m， ，n， ，mn(或或 mn， ，m， ，n ).答案：答案：；评析：评析：本本题为题为条件和条件和结论结论同同时时开放的新开放的新颖试题颖试题

7、.10.(2010东东城目城目标检测标检测)过正三棱锥的侧棱与底面中心过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是等腰三角形，作截面，已知截面是等腰三角形，若侧面与底面所成的角为若侧面与底面所成的角为 ，则，则 cos 的值是的值是 .解析：解析：本本题题考考查查二面角的求法二面角的求法.设侧设侧面与底面所成的角面与底面所成的角为为 ，如，如图图， ，O 为为中心，中心，SPB，又，又SPB 为为等腰三角形，有两种情况：等腰三角形，有两种情况：(1)SPPB， ，OP SPcos ； ；13OPSP13(2)SBPB， ，则则 SPSC2PC2SB2PC2 AC， ，PB2PC2(f(r(3),2)AC)2(f(1,2)AC)222又又 BPAC， ，32OP BP， ，co s， ，13OPSP66综综上可得：上可得：cos 的的值值是是 或或.1366答案：答案： 或或1366三、解答题：三、解答题：(本大题共本大题共 3 小题，小题，11、12 题题 13 分，分，13 题题 14 分，写出证明过程或推演步骤分，写出证明过程或推演步骤.)11.如图如图(1)，等腰梯形，等腰梯形

8、ABCD 中，中，ADBC，ABAD，ABC60，E 是是 BC 的中点，的中点，如图如图(2)，将，将ABE 沿沿 AE 折起，使二面角折起，使二面角 BAEC 成直二面角，连接成直二面角，连接 BC，BD，F 是是CD 的中点，的中点，P 是棱是棱 BC 的中点的中点.(1)求证：求证：AE BD；(2)求证：平面求证：平面 PEF平面平面 AECD；(3)判断判断 DE 能否垂直于平面能否垂直于平面 ABC？并说明理由？并说明理由.分析：分析：由条件可知由条件可知ABE 为为正三角形，要正三角形，要证证 AEBD，可，可证证明明 AE 垂直于垂直于 BD 所在的平所在的平面面 BDM，即，即证证 AE平面平面 BDM；可用判定定理；可用判定定理证证明平面明平面 PEF平面平面 AECD； ；对对于第于第(3)问问可可采用反采用反证证法法证证明明.解：解： (1)证证明：取明：取 AE 中点中点 M， ，连连接接 BM， ，DM.在等腰梯形在等腰梯形 ABCD 中，中，ADBC， ，ABAD， ，ABC60， ，E 是是 BC 的中点，的中点，ABE 与与ADE 都是等都是等边边三角形三角形.BMAE， ，DMAE. BMDMM， ，BM， ，DM平面平面 BDM.AE平面平面 BDM.BD平面平面 BDM， ，AEBD.(2)证证明：明：连连接接 CM， ，EF 交于点交于点 N， ，连连接接 PN，如，如图图.MEFC，且，且 MEFC， ，四四边边形形 MECF 是平行四是平行四边边形形.N 是是线线段段 CM 的中点的中点.P 是是线线段段 BC 的中点，的中点，PNBM.BM平面平面 AECD， ，PN平面平面 AECD.又又PN平面平面 PEF， ，平面平面 PEF平面平面 AECD.(3)DE 与平面与平面

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