2019版高考数学(浙江版)一轮配套讲义：§10.3　抛物线及其性质

1、WtuWgifWtuWgif110.3 抛物线及其性质考纲解读浙江省五年高考统计 考点来源:学*科*网考纲内容要求来源:学科网来源:Zxxk.Com201320142015201620171.抛物线的 定义和标准 方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了 解圆锥曲线在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图 形、标准方程.掌握15,4 分22(文),约 5 分22(文),约 5 分9,4 分19(1)(文),6 分15,约 4 分2.抛物线的 几何性质1.掌握抛物线的简单几何性质.2.理解数形结合的思想.掌握22(文),约 5 分22(文),约 6 分5,5 分20(文),约 7 分19(2)(文),9 分15,约 6 分分析解读 1.考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质.2.考查直线与抛物线的位置关系,以及与抛物线有关的综合问题.3.预计 2019 年高考中,抛物线的标准方程及简单几何性质仍将被考查.五年高考考点一 抛物线的定义和标准方程1.(2013 课标全国,11,5 分)设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若

2、以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( )A.y2=4x 或 y2=8xB.y2=2x 或 y2=8xC.y2=4x 或 y2=16xD.y2=2x 或 y2=16x答案 C2.(2016 浙江,9,4 分)若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是 . 答案 93.(2017 课标全国理,16,5 分)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的 中点,则|FN|= . 答案 64.(2015 陕西,14,5 分)若抛物线 y2=2px(p0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦点,则 p= . WtuWgifWtuWgif2答案 225.(2014 湖南,15,5 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F 两点,则 = . 答案 1+2考点二 抛物线的几何性质1.(2015 浙江,5,5 分)如图,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物

3、线上, 点 C 在 y 轴上,则BCF 与ACF 的面积之比是( )A.B.C.D.| 1 | 1|2 1|2 1| + 1 | + 1|2+ 1|2+ 1答案 A2.(2016 课标全国,10,5 分)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则 C 的焦点到准线的距离为( )25A.2B.4C.6D.8答案 B3.(2017 山东理,14,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1(a0,b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2=2py(p0)交于2222A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 答案 y=x22WtuWgifWtuWgif34.(2016 浙江文,19,15 分)如图,设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|-1.(1)求 p 的值;(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横 坐标的

4、取值范围.解析 (1)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离,由抛物线的定义得 =1,即 p=2. 2(2)由(1)得,抛物线方程为 y2=4x,F(1,0),可设 A(t2,2t),t0,t1.因为 AF 不垂直于 y 轴,可设直线 AF:x=sy+1(s0),由消去 x 得 y2-4sy-4=0,2= 4, = + 1?故 y1y2=-4,所以,B.(12, 2 )又直线 AB 的斜率为,故直线 FN 的斜率为-.22 12 1 2从而得直线 FN:y=-(x-1),直线 BN:y=- .2 1 22 所以 N.(2+ 32 1, 2 )设 M(m,0),由 A,M,N 三点共线得=,于是 m=.22 2 +2 22+ 32 1222 1所以 m2.经检验,m2 满足题意.综上,点 M 的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).5.(2014 浙江文,22,14 分)已知ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x2=4y 上,F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的中点,=3.(1)若|=3,求点 M 的坐标;WtuWgifWtuWgif

5、4(2)求ABP 面积的最大值.解析 (1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1.设 P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到 y0=2,所以 P(2,2)或 P(-2,2).22由=3,分别得 M或 M.(2 23,23)(2 23,23)(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得 x2-4kx-4m=0, = + , 2= 4?于是 =16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以 AB 中点 M 的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由=4y0得 k2=- m+.0= 6, 0= 4 62 3,?201 54 15由 0,k20,得- f,(1 3,1 9)(1 9,1)(1,4 3)(1 9)256 243(4 3)WtuWgifWtuWgif5所以,当 m= 时, f(m)取到最大值,此时 k=.1 9256 2435515所以,ABP 面积的最大值为.256 51356.(2013 浙江文,22,14 分)已知抛物

6、线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1).(1)求抛物线 C 的方程;(2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M,N 两点,求|MN|的最小值.解析 (1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p0),则 =1,所以抛物线 C 的方程为 x2=4y. 2(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1.由消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, = + 1, 2= 4?所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.2+ 1由 =11, = 2,?解得点 M 的横坐标 xM=.211 121121 48 4 1同理点 N 的横坐标 xN=.8 4 2所以|MN|=|xM-xN|2=2|8 4 18 4 2|=82|1 212 4(1+ 2) + 16|=.8 22+ 1|4 3|WtuWgifWtuWgif6令 4k-3=t,t0,则 k=. + 3 4当 t0 时,|MN|=22.2252+6 + 12当 t0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的

7、交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|=|PQ|.5 4(1)求 C 的方程;(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点,且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程.解析 (1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0= .8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + .8 2 28 由题设得 + = , 28 5 48 解得 p=-2(舍去)或 p=2.所以 C 的方程为 y2=4x.(5 分)(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m0).代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4.故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).2+ 1又 l的斜率为-m,所以 l的方程为 x=- y+2m2+3.1 将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0.4 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-

8、4(2m2+3).4 故 MN 的中点为 E,(22+ 22+ 3, 2 )|MN|=|y3-y4|=.(10 分)1 +124(2+ 1)22+ 12WtuWgifWtuWgif8由于 MN 垂直平分 AB,故 A、M、B、N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|,从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2,1 21 41 4即 4(m2+1)2+=.(2 +2 )2(22+ 2)24(2+ 1)2(22+ 1)4化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1.所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.(12 分)教师用书专用(910)9.(2013 安徽,13,5 分)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得ACB 为直角,则 a 的取值范围 为 . 答案 1,+)10.(2013 江西,14,5 分)抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A,B 两点,若ABF 为等边三角形,2 32 3则 p= . 答案 6三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组考点一 抛物

9、线的定义和标准方程1.(2017 浙江“超级全能生”联考(3 月),4)设抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,若抛物线上的点 A(-1,a)与焦点 F 的距离为 2,则 a=( )A.4B.4 或-4C. -2D.-2 或 2答案 D2.(2017 浙江杭州二模(4 月),7)设倾斜角为 的直线经过抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F,与抛物线 C 交于 A,B 两点,设点 A在 x 轴上方,点 B 在 x 轴下方.若=m,则 cos 的值为( )| |A.B.C.D. 1 + 1 + 1 1 2 + 1答案 AWtuWgifWtuWgif93.(2018 浙江名校协作体期初,15)已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N.若=,则1 2|= . 答案 54.(2017 浙江稽阳联谊学校联考(4 月),11)已知抛物线 y2=-2px 过点 M(-2,2),则 p= ,准线方程是 . 答案 1;x=1 25.(2018 浙江镇海中学期中,19)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C:x2=2py 的焦点为 F(0,1),过 O 作斜率为 k(k0)的 直

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