新课程教材习题教学的实践探索

1、 中学数学教学参考特约记者供稿未经作者许可，严禁转载新课程教材习题教学的实践探索 俞新龙(浙江) 众所周知，教材中的习题是编者精心挑选、再三酝酿后挑中的，具有典型性、示范性和明确的针对性，它 们的教学功能值得研究和开发.教师在习题教学时，应注意对习题进行横向拓宽和纵向深入，从而发挥习题的最 大作用：通过对习题的教学能揭示知识与方法的内在联系，即不仅“广积粮”而且还能“深挖洞”，能在学生 “最近发展区”产生认知冲突，从而构建新的知识体系. 那么教师如何组织习题教学？笔者愿以自己在新课程习题教学中的一些实践探索来抛砖引玉. 案例案例 1利用习题辨析问题求解的本质方法利用习题辨析问题求解的本质方法 函数的定义域是函数的三要素之一，是函数的灵魂，是考试常考的一个考点.给出函数的表达式求函数的定 义域是主要形式，可列不等式组求解，不等式组中的各个不等式，由使函数表达式中的所有运算都有意义的条 件构成.但在往年的教学中，我们经常发现一些学生常将函数表达式化简或折分后再进行求解，从而导致错误.必修 1 第 75 页 B 组 4：已知函数，且.（1）求函数) 1(log)(xxfa)1 (log)(x

2、xga, 0(a) 1a的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由.)()(xgxf)()(xgxf该题的原形是 2003 年审查通过的人教版数学第一册（上）99 页例 3.第（1）题学生的解法与旧教材的解法 相同，而这却是“美丽的巧合”.因此，本题是辨析求函数定义域方法的本质载体. （1）上课开始笔者请两位学生到黑板上解答第（1）题，出现了两种不同解法但结果相同的情况.学生 1：要使有意义须，解得，故函数的定义域为.)()(xgxf 0101xx11x)()(xgxf) 1 , 1(学生 2：因为，所以只须，解得，)1 (log)1)(1(log)()(2xxxxgxfaa012 x11x故函数的定义域为.)()(xgxf) 1 , 1(在接下去的解法评价中，学生都认为两学生的解法都是正确的，并且基本一致认为学生 2 的解法优于学生 1 的解法，没有学生认为学生 2 的做法是错误的.此时笔者没有急于向学生指出错误的地方和原因，而是不动声色地请学生继续解答类题：求函数且的定义域. ) 1(logxa)2(logxa, 0(a) 1a（2）笔者将全班学生分成两组，要求第一组学生按学生

3、1 解法求解，第二组学生按学生 2 解法求解.2 分钟 后笔者挑选了两位学生的解法投影出来.学生 3：10201 xxx学生 4：，解得或. ) 1(logxa)23(log)2(log2xxxaa0232 xx1.x2x(注:前面已补充简单一元二次不等式的解法) 此时教室热闹起来了，学生都想知道为什么会出现这种情况.类题呈现的矛盾结果无疑在学生最近发展区引 起了认知冲突，笔者认为错因辨析的时机已到. （3）经过学生之间的互相讨论，最终一致认为： 学生 1 的解法是正确的，学生 2 的解法是错误的，错误的原因在于将函数解析式化简后再求定义域时扩大 了变量的范围.因此，在求函数定义域时一般不能先化简再求解，这样往往会导致错误.另一方面，也说明学生x 在学对数的有关公式时，没有对公式成立的条件引起足够的重视. （4）在理清解题的有关问题和求解函数定义域的本质解法后，笔者布置了二道练习题巩固.练习题 1：记，求的定义域.（根据 2005 年天津高考题改变）)()()(xgxfxF)1()2(xFxF中学数学教学参考特约记者供稿未经作者许可，严禁转载练习题 2：函数是定义在的递增函数，且满足，

4、解不等式)(xf), 0( )()()(xyfyfxf.)4()2() 1(fxfxf（5）小结：求函数的定义域时，不能化简也不能合并后再求解. 案例案例 2利用习题优化、总结解题的方法利用习题优化、总结解题的方法 在必修 4 第 1.2.2 节同角三角函数的基本关系式的课堂练习中，笔者发现，学生对已知正弦值或余弦值 求其余三角函数值基本能掌握，但已知正切值求三角函数值如教材 P20 页练习 2（见下题）却不能解决，但 这种题型在高考中时有考查，在往年的教学中，笔者通常是直接告诉学生将正弦、余弦转化成正切值去计算， 认为学生应该是能接受的，但尽管笔者讲了不少，让学生也练了不少，过比较长的时间后，当学生再做类似问 题时却往往又是做复杂、做错的居多，这是为什么（而且教学中这样的例子还不少）？在新课程的教学中，笔 者有意进行探索和研究，下文就是笔者的一次尝试. （1）上课伊始就出示教材中此类已知正切值，求三角函数值的问题：P20 页练习 2：已知，求，的值.3tansincosP21 页习题 1.2A 组 10（3）：已知，求，的值.43tansincosP21 页习题 1.2A 组 12：

5、已知，求的值.3tan23sincosP22 页习题 1.2B 组 3：已知，求的值. 2tan cossincossin P69 复习参考题 A 组 5：已知，求角的三个三角函数值.（因为由可立得xxcos2sinxxxcos2sin ）2tanxP69 复习参考题 A 组 8：已知，计算：（1）；（2）；（3）3tan sin3cos5cos2sin4 cossin.2)cos(sinP71 复习参考题 B 组 4：已知，计算：（1）；（2）.31tan sincos5cos2sin 2coscossin21 （2）师生共同分析这 7 道课本习题，达成共识：题是基本型，不妨重点解决题，因为中角可 能在第二象限，也可能在第四象限，故不妨只考虑角在第二象限的情况，角在第四象限的情形同理可解.已知，且角在第二象限，求，的值有哪些方法？学生思考、互相讨论后总结如3tansincos下：解法 1：（注意到角为特殊角度）由，角在第二象限，得，因此，3tank232Zk ，.23 32sin)232sin(sink21 32cos)232cos(cosk解法 2：（注意到商数关系）由，得，又因为

6、，3cossintancos3sin1sincos22所以，又因为角在第二象限，所以，则1cos4)cos3(cos22221cos21cos中学数学教学参考特约记者供稿未经作者许可，严禁转载.23cos1sin2解法 3：由，可设，下同解法 2.3cossintank3sinkcos解法 4：因为，所以，因为2222 2 cos1 cossincostan141 tan11cos2221cos角在第二象限，所以，则.21cos23cos1sin2（注：本题的解法是平方关系的应用，当然的结论在前一节课中已经有提及.）22 cos1tan1在学生考虑的解法中，可能还有数形结合的方法，如联系单位圆、坐标解决等，教师可根据时间灵活处理. （3）各种解法展示后，教师及时引导学生对解法进行反思，认识解决问题的基本方法：解法 1 不是通法， 只有特殊值时才可运用，解法 2、3、4 对问题都是适用的，但解法 2 才是最基本的解决问题的方法.从 解法过程可以看出，因为涉及到分类讨论，容易出错，是否有可以避免分类讨论的解法呢？ （4）对于、（1） 、（1）虽然用解法 2 可以解决，但求解过程比较复杂，能

7、否通过变换处理，将要 求的式子直接转化成正切值来求解？如果可以，又该怎样化？ 教师引导学生自己去发现，实际教学时以为例，（1） 、（1）在解决的基础上由学生完成，具体的解法为： .31212 1tan1tancoscos cossincoscos cossincossincossin 这种整体转换最大的优点就是避免分类讨论的麻烦，但并不是所有问题都可直接用该方法求解，教师要引 导学生寻找可用该方法求解的习题的共同特点：一般是无常数项的分式形式，分子与分母都是正弦、余弦的一 次加、减式. （5）（2）能否也用这种转换思想，将式子转换成正切值来计算？学生探究时，教师引导学生弄清两个关键点：第一是将 1 用替换，第二是的分子、分母同除以到同除22cossin222coscossin2cossin cos以的转变，最后得到解法：.2cos310 1tan21tan coscossin2cossin coscossin2122222 n这样，转换思想应用范围扩大到无常数项的分式：分子、分母中每个式子的正弦、余弦的指数和（两次或 三次或更高次）相同. （2）也可用这种方法求解吗？学生陷入困境，务必

8、要学生自己探索出变形的方法：除以 1，得到形式后启发学生（2）中“1”的替换在本题中的类似运用， 1cossin.103 1tantan cossincossin 1cossincossin222 教师再次引导学生总结：只要能化成无常数项的分式，并且分子、 分母中每个式子的正弦、余弦的指数和（两次或三次或更高次）相同， 就可用这种转换成正切值的方法来求解.xyOBA图 1x=t中学数学教学参考特约记者供稿未经作者许可，严禁转载（6）在经历了前面的学习后，通过两道习题练习来熟练解题方法.练习题 1：已知，求的值.2cossincossin cossin练习题 2：已知，求的值.223tan1tan1 2222cos2sincoscossin2sin 案例案例 3通过习题突破教学难点通过习题突破教学难点 函数是中学数学的核心内容，函数关系的建立是函数的“关键” ，具 有实际背景的函数关系的建立是一个难点.如何破解这个难点是笔者历年复 习中必须面对的问题.在今年的复习中，笔者以必修 1P126 页复习参考题 B 组 2 的横向变式和纵向类比来突破.问题 如图 1，是边长为 2 的正三角形，设

9、位于直线OABOAB左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函)0( ttx)(tf)(tf数的图象.)(tfy 本题是一道以求函数解析式为知识目标的习题，在解题过程中，可以 训练学生观察、思考、分析图中的信息，由“形”的变化得出“数”的结 论，由“形”的分类得出“数”的分类，很自然地寓数形结合、分类讨论 于解题之中，使学生在不经意间经历了一次用联系的、变化的辩证观点审 视事物的过程.变式 1 如图 2，是边长为 2 的正三角形，设位于直线OABOAB上方的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函)0( tty)(tf)(tf数的图象.)(tfy 本题的解决是容易的，绝大多数学生都会用三角形相似来解决，但也会有一部分学生因为弄错直线上方的小三角形的高而出错;还有一部ty 分学生会错求成直线下方的四边形面积.对于这些错误教师可简单点评一下.变式 2 如图 3，是边长为 2 的正三角形，设位于直线OABOAB左侧的图形的面积为.试求函数的解析式.)0(33ttxy)(tf)(tf该变式与问题在本质上没有太大的变化，因为直线与txy33直线仍是垂直的;同理，如果将直线方程换成也没有改变OBt

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