2019版高考数学(浙江版)一轮配套讲义：§12.3　离散型随机变量及其分布

1、WtuWgifWtuWgif112.3 离散型随机变量及其分布考纲解读浙江省五年高考统计来源:Zxxk.Com来源:Zxxk.Com 考点考纲内容来源:学科网 ZXXK要求来源:Zxxk.Com 201320142015201620171.离散型随 机变量及其 分布列1.理解取有限个值的离散型随机变量及其 分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现 象的重要性.2.理解两点分布和超几何分布的意义,并能 进行简单的应用.理解19(1),7 分8,2 分2.离散型随 机变量的均 值与方差理解取有限个值的离散型随机变量的均值、 方差的概念,能计算简单离散型随机变量的 均值、方差,并能解决一些实际问题.理解19(2),7 分9,5 分12,4 分8,2 分分析解读 1.随机变量及其分布是概率统计部分的重要内容,是高中数学的主干知识,也是高考的热点.2.主要考查随机变量分布列的性质及运算求解能力.3.考查一般以解答题形式出现,以随机变量分布列为载体,综合计数原理、古典概型、等可能事件等考查学生分析问题、解决 问题的能力及运算求解能力.4.预计 2019 年高考试题中,对随机变量及其分布的考查必不可少

2、.五年高考考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2017 课标全国理,13,5 分)一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽 到的二等品件数,则 DX= . 答案 1.962.(2013 浙江,19,14 分)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一 个蓝球得 3 分.(1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和,求 的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 为取出此球所得分数.若 E= ,D= ,求 abc.5 35 9解析 (1)由题意得 =2,3,4,5,6.WtuWgifWtuWgif2故 P(=2)= ,3 3 6 61 4P(=3)= ,2 3 2 6 61 3P(=4)=,2 3 1 + 2 2 6 65 18P(=5)= ,2 2 1 6 61 9P(=6)=.1 1 6 61 36所以 的分布列为23456P1 41 35

3、 181 91 36(2)由题意知 的分布列为123P + + + + + + 所以 E()=+= , + + 2 + + 3 + + 5 3D()=+= ,(1 5 3)2 + + (2 5 3)2 + + (3 5 3)2 + + 5 9化简得2 4 = 0, + 4 11 = 0.?解得 a=3c,b=2c,故 abc=321.3.(2017 课标全国理,18,12 分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的 酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不 低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为了确 定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15 )15,20 )20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.WtuWgifWt

4、uWgif3(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大 值?解析 本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X 所有可能取值为 200,300,500,由表格数据知P(X=200)=0.2,P(X=300)=0.4,P(X=500)=0.4.2 + 16 9036 9025 + 7 + 4 90因此 X 的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为 500 瓶,至少为 200 瓶,因此只需考虑 200n500.当 300n500 时,若最高气温不低于 25,则 Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则 Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于 20,则 Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此 EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当 200n10 000)=0.5+0.

5、2=0.7,由二项分布,3 天中至少有 1 天最大获利超过 10 000 元的概率为 p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.10.(2015 陕西,19,12 分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为 100 的样本进 行统计,结果如下:T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求 T 的分布列与数学期望 ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共 用时间不超过 120 分钟的概率.解析 (1)由统计结果可得 T 的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得 T 的分布列为T25303540P0.20.30.40.1WtuWgifWtuWgif10从而 ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分钟).(2)设 T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与 T 的分布列相同.设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”,由于讲座时间为 50 分钟

6、,所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超 过 70 分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240)+P(T1=35,T235)+P(T1=40,T230)=0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91.解法二:P( )=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09.故 P(A)=1-P( )=0.91.11.(2014 天津,16,13 分)某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名 同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被 选到的可能性相同).(1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.解析 (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A,则P

7、(A)=.132 7+ 0 33 731049 60所以选出的 3 名同学是来自互不相同的学院的概率为.49 60(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).43 6310所以随机变量 X 的分布列是X0123P1 61 23 101 30随机变量 X 的数学期望 E(X)=0 +1 +2+3= .1 61 23 101 306 512.(2014 江西,21,14 分)随机将 1,2,2n(nN*,n2)这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数.A 组最小数为 a1, 最大数为 a2;B 组最小数为 b1,最大数为 b2.记 =a2-a1,=b2-b1.(1)当 n=3 时,求 的分布列和数学期望;(2)令 C 表示事件“ 与 的取值恰好相等”,求事件 C 发生的概率 P(C);WtuWgifWtuWgif11(3)对(2)中的事件 C, 表示 C 的对立事件,判断 P(C)和 P( )的大小关系,并说明理由.解析 (1)当 n=3 时, 的所有可能取值为 2,3,4,5.将 6 个正整数平均分成 A,B 两组,不同的分

8、组方法共有=20 种,所以 的分布列为362345P1 53 103 101 5E=2 +3+4+5 = .1 53 103 101 57 2(2) 和 恰好相等的所有可能取值为 n-1,n,n+1,2n-2.又 和 恰好相等且等于 n-1 时,不同的分组方法有 2 种; 和 恰好相等且等于 n 时,不同的分组方法有 2 种; 和 恰好相等且等于 n+k(k=1,2,n-2)(n3)时,不同的分组方法有 2种, 2所以当 n=2 时,P(C)= = ,4 62 3当 n3 时,P(C)=.2(2 + 2 = 1 2)2(3)由(2)知当 n=2 时,P( )= ,因此 P(C)P( ),1 3而当 n3 时,P(C)120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为 5 000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到 最大,应安装发电机多少台?解析 (1)依题意,p1=P(40120)=0.1.10 5035 505 50由二项分布知,在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p=(1-p3)4+(1-p3

9、)04143p3=+4=0.947 7.(9 10)4(9 10)31 10(2)记水电站年总利润为 Y(单位:万元).(i)安装 1 台发电机的情形.由于水库年入流量总大于 40,故一台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000.(ii)安装 2 台发电机的情形.依题意知,当 40120 时,三台发电机运行,此时 Y=5 0003=15 000,因此 P(Y=15 000)=P(X120)=p3=0.1,由此得 Y 的分布列如下:Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以,E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台.教师用书专用(1424)14.(2013 广东,4,5 分)已知离散型随机变量 X 的分布列为X123P3 53 101 10则 X 的数学期望 E(X)=( )A.B.2C.D.33 25 2答案 A 15.(2015 湖南,18,12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球.在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个 红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率;(2)若某顾客有 3 次抽奖机会,

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