2019版高考数学（理科，课标A版）一轮复习讲义：§5.3　平面向量的数量积及其应用

1、WtuWgifWtuWgif15.3 平面向量的数量积及其应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.数量积的定义理解2017 浙江,10;2016 天津,7;2015 湖北,11;2014 课标,3选择题填空题2.平面向量的长度问题掌握2017 课标全国,13;2017 浙江,15;2016 北京,4;2014 浙江,8选择题填空题3.平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用(1)平面向量的数量积理解平面向量数量积的含义及其物理意 义;了解平面向量的数量积与向量投影的关 系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向 量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用 数量积判断两个平面向量的垂直关系.(2)向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何 问题;会用向量方法解决简单的力学问题与其 他一些实际问题掌握2017 课标全国,12;2017 山东,12;2016 山东,8;2015 重庆,6;2014 重庆,4选择题填空题分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数 量积的运算求向量夹角,判断或

2、证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.五年高考考点一 数量积的定义1.(2017 浙江,10,5 分)如图,已知平面四边形 ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与 BD 交于点 O.记 I1=,I2=,I3=,则( )A.I1=.若 n(tm+n),则实数 t 的值为( )A.4B.-4C.D.-答案 B2.(2015 山东,4,5 分)已知菱形 ABCD 的边长为 a,ABC=60,则=( )A.-a2B.-a2C.a2D.a2答案 D3.(2015 福建,9,5 分)已知,|=,|=t.若点 P 是ABC 所在平面内的一点,且=+,则的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21答案 A4.(2017 山东,12,5 分)已知 e1,e2是互相垂直的单位向量.若 e1-e2与 e1+e2的夹角为 60,则实数 的值是 . 答案 教师用书专用(58)5.(2015 重庆,6,5 分)若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),则 a 与 b 的夹角为( )A.B.C.D.答案 A6.(2015 四川,7,

3、5 分)设四边形 ABCD 为平行四边形,|=6,|=4.若点 M,N 满足=3,=2,则=( )A.20B.15C.9D.6答案 C7.(2014 重庆,4,5 分)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数 k=( )A.-B.0C.3D.答案 CWtuWgifWtuWgif48.(2014 安徽,15,5 分)已知两个不相等的非零向量 a,b,两组向量 x1,x2,x3,x4,x5和 y1,y2,y3,y4,y5均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成. 记 S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5,Smin表示 S 所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题 的编号). S 有 5 个不同的值若 ab,则 Smin与|a|无关若 ab,则 Smin与|b|无关若|b|4|a|,则 Smin0若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则 a 与 b 的夹角为答案 三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组考点一 数量积的定义1.(2018 北京朝阳期中,7)如图,在直角梯形 ABCD 中,ABCD,

4、ADDC,E 是 CD 的中点,DC=1,AB=2,则=( )A.5B.-5C.1D.-1答案 D2.(2017 福建龙岩二模,7)已知向量与的夹角为 60,且|=3,|=2,若=m+n,且,则实数的值为( )A.B.C.6D.4答案 A3.(2017 江西抚州七校联考,7)在 RtAOB 中,=0,|=,|=2,AB 边上的高线为 OD,点 E 位于线段 OD 上,若=,则向量在向量上的投影为( )A.B.1C.1 或D.或答案 D4.(2017 广东惠州调研,13)已知|a|=4,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 120,则(a-2b)(a+b)= . WtuWgifWtuWgif5答案 12考点二 平面向量的长度问题5.(2018 全国名校大联考,10)设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=2,ab=-2,=60,则|c|的最大值等于( )A.4B.2C.D.1答案 A6.(2017 福建漳州八校 4 月联考,5)在ABC 中,|+|=|-|,|=|=3,则的值为( )A.3B.-3C.-D.答案 D7.(2017 湖南永州一模,11)已知向量 a 与向量 b 的夹角为,且

5、|a|=|b|=2,若向量 c=xa+yb(xR 且 x0,yR),则的最大值为( )A.B.C.D.3答案 A8.(2016 江西赣南五校二模,6)ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,2=+且|=|,则向量在方向上的投影为( )A.B.C.-D.-答案 A考点三 平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用9.(2018 福建三明一中期中,8)已知 O 是ABC 所在平面上一点,满足|2+|2=|2+|2,则点 O( )A.在过点 C 且与 AB 垂直的直线上B.在A 的平分线所在直线上C.在边 AB 的中线所在直线上D.以上都不对答案 A10.(2017 豫南九校 4 月联考,4)已知向量 a=(m,2),b=(2,-1),且 ab,则等于( )A.-B.1C.2D.答案 B11.(人教 A 必 4,二,2-4A,7,变式)若 e1,e2是平面内夹角为 60的两个单位向量,则向量 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为( )A.30B.60C.90D.120答案 D12.(2017 河北衡水中学模考,15)已知在ABC 所在平面内有两点 P、Q,满足+=0,+=,若|=4

6、,|=2,SAPQ=,则的值为 . 答案 4WtuWgifWtuWgif6B 组 20162018 年模拟提升题组(满分:40 分 时间:35 分钟)一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)1.(2018 广东广州华南师大附中,10)如图,半径为 1 的扇形 AOB 中,AOB=,P 是弧 AB 上的一点,且满足 OPOB,M,N 分别是线段OA,OB 上的动点,则的最大值为( )A.B.C.1D.答案 C2.(2018 四川成都七中期中)在ABC 中,BC=5,G,O 分别为ABC 的重心和外心,且=5,则ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能答案 B3.(2017 湖南郴州质量检测,9)已知 A,B 是单位圆 O 上的两点(O 为圆心),AOB=120,点 C 是线段 AB 上不与 A、B 重合的动点,MN是圆 O 的一条直径,则的取值范围是( )A.B.-1,1)C.D.-1,0)答案 A4.(2017 湖北黄冈二模,10)已知平面向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a(a-2b),(c-2a)(c-b)=0,则|c|的最

7、大值与最小值的和为( )A.0B.C.D.答案 D二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)5.(2017 河南郑州一中模拟,14)如图,RtABC 中,C=90,其内切圆切 AC 边于 D 点,O 为圆心.若|=2|=2,则= . WtuWgifWtuWgif7答案 -36.(2016 福建福州 3 月质检,14)已知在ABC 中,AB=4,AC=6,BC=,其外接圆的圆心为 O,则= . 答案 10三、解答题(共 15 分)7.(2018 湖南中原名校第四次质量考评,17)已知两个不共线的向量 a,b 满足 a=(1,),b=(cos ,sin ),R.(1)若 2a-b 与 a-7b 垂直,求|a+b|的值;(2)当 时,若存在两个不同的 ,使得|a+b|=|ma|成立,求正数 m 的取值范围.解析 (1)由条件知|a|=2,|b|=1,又 2a-b 与 a-7b 垂直,所以(2a-b)(a-7b)=8-15ab+7=0,所以 ab=1.所以|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=.(2)由|a+b|=|ma|,得|a+b|2=|ma|2,即|a|

8、2+2ab+3|b|2=m2|a|2,即 4+2ab+3=4m2,7+2(cos +sin )=4m2,故 4sin=4m2-7.由 ,得 +,又 要有两解,结合三角函数图象可得,64m2-74,即m2,因为 m0,所以m.故正数 m 的取值范围为.C 组 20162018 年模拟方法题组方法 1 求向量长度的方法1.(2018 四川双流中学期中,9)已知平面向量,满足|=|=1,=-,若|=1,则|的最大值为( )A.-1B.-1C.+1D.+1答案 D2.(2017 河南高三 4 月质检,9)在ABC 中,BAC=60,AB=5,AC=4,D 是 AB 上一点,且=5,则|等于( )A.6B.4C.2D.1答案 C3.(2017 广东五校协作体联考,15)已知 a,b 是两个互相垂直的单位向量,且 ca=cb=1,则对任意的正实数 t,的最小值是 .答案 2WtuWgifWtuWgif8方法 2 求向量夹角问题的方法4.(2018 云南玉溪模拟,4)已知向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量 a,b 的夹角余弦值为( )A.B.-C.D.-答案 C5.(2017 河南天一大联考(一),7)已知|a|=,ab=-,且(a-b)(a+b)=-15,则向量 a 与 b 的夹角 为( )A.B.C.D.答案 C6.(2017 河南百校联盟 4 月联考,14)已知非零向量 a,b 满足:2a(2a-b)=b(b-2a),|a-b|=3|a|,则 a 与 b 的夹角为 . 答案 90方法 3 数形结合的方法和方程与函数的思想方法7.(2017 广东七校 3 月联考,11)在等腰直角ABC 中,ABC=90,AB=BC=2,M,N 为 AC 边上的两个动点(M,N 不与 A,C 重合),且满足|=,则的取值范围为( )A.B.C.D.答案 C8.(2018 北京西城月考,16)如图,已知边长为 4 的正方形 ABCD,E 是 BC 边上一动点(与 B、C 不重合),连接 AE,作 EFAE 交BCD的外角角平分线于 F.设 BE=x,设 f(x)=,则函数 f(x)的值域是 . 答案 (0,49.(2017 湖南长郡中学六模,14)如图,点 O 为ABC 的重心,且,|=6,则的值为 . 答案 72

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