期中考试评讲
6页1、期中考试试题评讲 Q1: 由t t tdSdtdWS, 令( ,)n ttf S tS,1n t tfnSS,2 2 2(1)n t tfn nSS,0f t, 根据 ITO 引理: 2 22 21()2tttt tttffffdfSSdtSdWtSSS122211(0(1)2nnn tttttttdfS nSS n nSdtS nSdW 21(1)2nn tttdfnn nS dtnS dW 21(1)2tdfnn nfdtnfdW QED. Q2.由0tWt tSS e知,0lnlnttSSWt2 0ln(ln,)tSNStt 故10ln(ln1000.1,0.4)SN (1)22 01011ln0.01 100.210ln0.322 100()()100SttSE SE eeS ee (2)1010(100)(lnln100)P SPS,又由10ln(ln1000.1,0.4)SN,故: 10ln100(ln1000.1)1(100)()()(0.1581)0.42 10P S Q5,假定一个无股息股票0tWt tSS e,一个具有创新意识的金融机构刚刚宣布它将交易在时刻T收益为
2、lnTS的衍生产品,期中TS为股票在T时刻的价格。采用风险中性定价理论将衍生产品价格表达为股票价格tS与时间t的函数。 由0tWt tSS e知,则: 0lnlnttSStW lnttdSdtdW21()2t t tdSrdtrdtdWS 令:21 2r 21()2Q ttWrtW 故在风险中性测度(Q)下: 21lnln()()2Q TttSSrTtW 221ln(ln()(),()2TtSNSrTtTt故: ()()21(, )(ln)(ln()()2r T tQr T t ttTtf S teESeSrTtQ7:远期合约是将来固定的日期(称为交割日) ,以预先指定的价格(称为远期价格)买入 或者卖出一种资产的协议。 (1)证明在无套利假设下,股票在时间 t 支付红利 div 的远期价格为: (0, ) (0)rtrTFTSediv e,0tT (2)考虑一只股票,它在 2000 年 1 月 1 日的价格为 120 美元,在 2000 年 7 月 1 日支付红 利 1 美元在 2000 年 10 月 1 日支付红利 2 美元,无风险利率为 12%。如果 2000 年 11 月 1
3、日交割的远期合约在 2000 年 1 月 1 日的价格为 131 美元,是否存在套利机会?如果存在套 利机会,计算套利利润。 (1)在 t 时刻的 div 贴现到 0 时刻为rtediv,构造组合: 组合 A:一份远期合约f多头加上一笔数额为(0, )rTFT e的现金; 组合 B:一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为 t 时刻派发红利、本金为rtediv的负债。 这两个组合的价值相等: (0, )(0)rTrtfFT eSediv (0)(0, )rtrTfSedivFT e 而合约签订时,对双方公平,合约价值为 0: (0, ) (0)rtrTFTSediv e (2)6912%12%1212 0122.77divee,故: 1012%12(0, ) (0)(1202.77)12.56131rtrTFTSediv ee 故存在套利。 2000 年 1 月 1 日,签订远期合约空头头寸,并借入 120 美元买入股票; 2000 年 7 月 1 日,得到第一笔红利 1 美元并进行无风险投资; 2000 年 10 月 1 日,得到第二笔红利 2 美元并进行无风险投资; 2000 年 11 月 1 日,所有头寸结算。 套利利润: 104112%12%12%121212131 120121.44eee
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