2020年江苏省南京一中高三（上）期中数学试卷

1、 高三（上）期中数学试卷 题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A=0,1，2，3，B=1,0，1，则AB=_2. 复数z满足z1+i=3i，其中i是虚数单位，则复数z的模是_3. 双曲线x29y225=1的渐近线方程是_4. 从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是_5. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间40,60)内的汽车有_辆6. 如图所示的流程图的运行结果是_ 7. 若圆锥底面半径为1，侧面积为5，则该圆锥的体积是_8. 若实数x、y满足约束条件y1xy1x+2y4，则目标函数z=x+y的最大值等于_ 9. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且S13=6，则3a92a10=_10. 已知f(x)=x2+3x+1,x0x2+x+2,xb0)的两个焦点分别为F1(2,0)，F2(2,0)，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直()求椭圆C的方程；()过点

2、M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值19. 设函数f(x)=x3+3|xa|，aR(1)若a=1，求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；(2)当x1,1时，求函数f(x)的最小值；(3)已知a0，且对任意的x1,+)，都有f(x+a)f(1+a)15a2lnx，求实数a的取值范围20. 对于数列an，bn，把和|a1b1|+|a2b2|+|anbn|叫做数列an与bn的前n项的泛和，记作为Fn，已知数列an的前n项和为Sn，且3Sn2an=2(1)求数列an的通项公式；(2)数列an与数列|an|的前n项和的泛和为Fn，且Fnan恒成立，求实数的取值范围；(3)从数列nan的前2n项中，任取n项从小到大依次排列，得到数列b1，b2，bn，再将余下的n项从大到小依次排列，得到数列c1，c2，cn，求数列bn与数列cn的前n项和的泛和Fn答案和解析1.【答案】0,1【解析】解：集合A=0,1，2，3，B=1,0，1，AB=0,1故答案为：0,1利用交集定义直接求解本题考查交集的求法，是基础题，解题时

3、要认真审题，注意交集定义的合理运用2.【答案】32【解析】解：由z1+i=3i，得z=3i(1+i)=33i则复数z的模是32+(3)2=32故答案为：32直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3.【答案】y=53x【解析】解：双曲线x29y225=1的渐近线方程为y=53x，故答案为：y=53x.由焦点在x轴的双曲线x2a2y2b2=1(a,b0)的渐近线方程y=bax，可得所求渐近线方程本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题4.【答案】16【解析】解：乘积为奇数可以等价为取出的两个数均为奇数，故所取2个数的乘积为奇数包含1个基本事件，而从4个数中取出2个包含C42=6个基本事件，则所取2个数的乘积为奇数的概率是：16故填：16乘积为奇数可以等价为取出的两个数均为奇数，故所取2个数的乘积为奇数包含1个基本事件，而从4个数中取出2个包含C42=6个基本事件，相除即可本题考查了古典概型的概率计算和计数原理，主要是简单的排列组合问题，属于基础题5.【答案】80【解析】

4、解：由频率分布直方图得：时速在区间40,60)内的汽车的频率为(0.01+0.03)10=0.4时速在区间40,60)内的汽车有0.4200=80(辆)故答案为：80由频率分布直方图先求出时速在区间40,60)内的汽车的频率，由此能求出时速在区间40,60)内的汽车数量本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用6.【答案】20【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=54的值，S=54=20，故答案为：20分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=54的值根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模7.【答案】23【解析】【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于

5、圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求出l后利用勾股定理计算圆锥的高，即可求出圆锥的体积本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长【解答】解：设圆锥的母线长为l，根据题意得，解得l=5，所以圆锥的高=51=2，所以圆锥的体积等于，故答案为：23.8.【答案】5【解析】解：先根据约束条件y1xy1x+2y4画出可行域， 然后平移直线Z=x+y，当直线z=x+y过点A(6,1)时，z最大值为5故答案为：5 先根据约束条件y1xy1x+2y4画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点A(6,1)时，z最大值即可本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题9.【答案】613【解析】【分析】由已知求得a7，把3a92a10转化为a7得答案本题考查等差数列的性质，考查等差数列的通项公式及前n项和，是基础的计算题【解析】由S13=6，得(a1+a13)132=13a7=6，a7=613，则3a92a10=3(a1+8d)2(a1+9d)=a1+6d=a7=613故答案为：613

6、10.【答案】1,1【解析】解：当x0时，f(x)=x2+x+2=(x12)2+542，且函数为增函数，当x0时，f(x)=x2+3x+1=(x+32)2541，且函数为增函数，若2x2|x|0，则不等式f(2x2|x|)5恒成立，此时|x|(2|x|1)0，得0|x|12，若2x2|x|0，即|x|12或|x|0，则不等式f(2x2|x|)5恒成立，f(1)=5，不等式f(2x2|x|)5等价为f(2x2|x|)f(1)，则2x2|x|1，即2x2|x|10，得(|x|1)(2|x|+1)0，则|x|1，|x|12或|x|0，12|x|1或|x|=0，综上|x|1，综上1x1，故答案为：1,1根据分段函数的表达式，判断函数的单调性和取值范围，结合一元二次不等式的解法进行求解即可本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断函数的单调性的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解是解决本题的关键11.【答案】65a0【解析】解：原问题可转化为：圆(x2a)2+(ya3)2=4和圆x2+y2=1相交，可得两圆圆心之间的距离d=(2a0)2+(a+30)2=5a2+6a+9，由两圆相交可得

7、215a2+6a+92+1，平方可得15a2+6a+99，解得65a0 故答案为：65a0 依据圆(x2a)2+(ya3)2=4和圆x2+y2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和，建立不等式组可得本题体现了转化的数学思想，将问题转化为：圆(x2a)2+(ya3)2=4和圆x2+y2=1相交是解决问题的关键12.【答案】152【解析】解：如图，根据题意，AB=32AE,AD=12(AB+AC)，设AO=kAD，则AO=k2AB+k2AC=3k4AE+k2AC，且E，O，C三点共线，3k4+k2=1，解得k=45，AO=25(AB+AC)，且EC=13AB+BC=13AB+ACAB=AC23AB，且AC=63AB，AOEC=25(AB+AC)(AC23AB)=215ABAC+25(AC223AB2)=215ABAC+25(23AB223AB2)=215ABAC，又ABAC=AOEC，ABAC=215ABAC，215=1，解得=152故答案为：152可画出图形，可设AO=kAD，从而根据条件可得出AO=3k4AE+k2AC，从而可求出k=45，从而可得出AOEC=25(AB+AC)(AC23AB)，再根据AC=63AB进行数量积的运

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