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正项级数PPT课件

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1、10.2 正项级数,1.定义:,称为正项级数.,显然，对于正向级数,部分和数列为单调增加数列.,一、正项级数,一、正项级数的审敛法,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,单调递增,收敛 ,也收敛.,都有,定理2 (比较判别法),设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,证:,设对一切,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有,是两个正项级数,(常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,(1) 若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2) 若弱级数,因此,这说明强级数,也发散 .,也收敛 .,发散,收敛,弱级数,例1. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较判别法可知 p 级数,发散 .,发散 ,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛 , 由比较判别法知 p 级数收敛 .,时,2) 若,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在

2、,对一切,证明级数,发散 .,证: 因为,而级数,发散,根据比较判别法可知,所给级数发散 .,例2.,定理3. (比较判别法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,证: 据极限定义,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散 ;,(3) 当l = 时,即,由定理2可知, 若,发散 ,(1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知,收敛 ,若,是两个正项级数,(1) 当时,两个级数同时收敛或发散 ;,特别取,可得如下结论 :,对正项级数,(2) 当且收敛时,(3) 当且发散时,也收敛 ;,也发散 .,的敛散性.,例3. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较判别法的极限形式知,例4. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,1. 必须选定参照级数！,2. 常见级数：p-级数、几何级数、调和级数！,比值判别法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,遇到级数通项带阶层时，一般用比值判别法,解,比值判别法失效, 改用比较判别法,级数收敛.,3.积分判别法,解,小结：正项级数的审敛法（判别法）：,1.比较判别法（找参照级数）；,2.比值判别法；（带阶层）,3.根式判别法；（比式能做其肯定能）,4.积分判别法。（变n为x好积分）,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,备用题,1. 判别级数的敛散性:,解: (1),发散 ,故原级数发散 .,不是 p级数,(2),发散 ,故原级数发散 .,作业：第239页： 2(偶)，3(奇),2.,则级数,(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.,分析:, (B) 错 ;,又,C,证明,即部分和数列有界,4.比较审敛法,不是有界数列,定理证毕.,比较收敛法的不便:,须有参考级数.,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,2020/10/25,

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