高考理科数学一轮复习课时提升作业：第3章《三角函数、解三角形》单元评估检测（含答案）

1、第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题:第二象限角大于第一象限角;不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关;若sin=sin,则与的终边相同;若cos0,则是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.由于第一象限角370不小于第二象限角100,故错;正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故错;当=,cos=-10时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故错.综上可知只有正确.2.如图,角的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于第二象限的点P,则cos+sin=()A.B.-C.D.-【解析】选B.由三角函数的定义,得sin=,又是第二象限的角,所以cos=-=-=-,故cos+sin=-.【加固训练】已知点P落在角的终边上,且B.当且仅当x=2k+(kZ)时,函数取得最大值1C.该函数是以为周期的周期函数D.当且仅当2k+x2k+(kZ)时,f(x)0【解析】选D.根据题意得f=所以根据在上的正弦曲线和余弦曲

2、线,如图(实线部分),得该函数的值域是,所以A错误;该函数在x=2k,以及x=2k+,kZ时取得最大值,所以B错误;该函数的最小正周期为2,所以C错误;当且仅当2k+x2k+(kZ)时,f(x)0.所以D正确.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015长沙模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=2,1+=,则C=_.【解题提示】切化弦化简已知条件求A,由正弦定理求sinC,进而求C.【解析】因为1+=,所以1+=,所以=,所以=,即cosA=,所以A=,因为a=2,c=2,由正弦定理,得sinC=,因为ca,所以CA=,故C=.答案:12.若将函数f=sin的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是_.【解题提示】平移后的函数是余弦函数.【解析】将函数f=sin的图象向右平移个单位,所得函数为f(x)=sin=sin,其图象关于y轴对称,则f(x)=cos2x,所以-2=+k(kZ),当k=-1时的最小正值是.答案:13.(2016临沂模拟)在ABC中,A=60,最大边与最小边是方程x2

3、-9x+8=0的两个实根,则边BC长为_.【解析】因为A=60,所以可设最大边与最小边分别为b,c.又b+c=9,bc=8,所以BC2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA=92-28-28cos60=57,所以BC=.答案:【加固训练】四边形ABCD中,B=D=90,A=60,AB=4,AD=5,则AC=.【解析】如图,连接BD,在BAD中,应用余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos60=42+52-245=21,所以BD=,因为四边形ABCD中,B=D=90,所以ABCD四个点都在以AC为直径的圆上,所以由正弦定理得2R=2.所以AC=2.答案:214.(2016莱芜模拟)如图,某城市的电视台发射塔CD建在市郊的小山上,小山的高BC为35米,在地面上有一点A,测得A,C间的距离为91米,从A观测电视发射塔CD的视角(CAD)为45,则这座电视台发射塔的高度CD为_.【解析】AB=84,tanCAB=,由=tan(45+CAB)=,得CD=169(米).答案:169米15.若cos(+)=,cos(-)=,则tantan=_.【解析】由题意得c

4、oscos-sinsin=,coscos+sinsin=,两个式子相加得2coscos=,两个式子相减得2sinsin=,相除得tantan=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016青岛模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小.(2)若sinA=,求ABC的面积.【解题提示】(1)先利用三角恒等变换公式化简已知的表达式,再利用三角函数的性质得到方程,解方程求解.(2)先利用正弦定理求a,再利用三角恒等变换公式,求sinB,最后求面积.【解析】(1)由题意得-=sin2A-sin2B,即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sinA=,=,得a=.由ac,得AC,从而cosA=,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,所以,ABC的面积为S=acsinB=.

5、17.(12分)(2015重庆高考)已知函数f(x)=sinsinx-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论f(x)在上的单调性.【解题提示】(1)化简函数f(x)的解析式即可求出函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)利用正弦函数的图象和性质求解即可.【解析】(1)由题意知f(x)=sinsinx-cos2x=cosxsinx-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为,最大值为.(2)当x时,02x-,从而当02x-,即x时,f(x)单调递增,当2x-,即x时,f(x)单调递减,综上可知,f(x)在上单调递增,在上单调递减.18.(12分)(2016广州模拟)已知函数f(x)=cosxcos.(1)求f的值.(2)求使f(x)成立的x的取值集合.【解题提示】(1)代入求值即可.(2)先利用三角恒等变换公式化简表达式,再根据三角函数图象和性质解不等式.【解析】(1)f=coscos=-coscos=-.(2)f(x)=cosxcos=cosx=cos2x+sinxcosx=(1+cos2x)+sin2x=cos+,因为f(

6、x),所以cos+,即cos0.于是2k+2x-2k+,kZ,解得k+xk+,kZ.故所求x的取值集合是.19.(12分)设函数f=2cos2+sin-1.(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合.(2)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到.【解题提示】将函数y=f(x)化成一个角的三角函数的形式,根据三角函数的图象及性质与三角函数图象的变换解答.【解析】(1)因为f=2cos2+sin-1=cos2+sin=sin2x+sin2x+cos2x=sin,所以当2x+=2k-,kZ,即当x=k-,kZ时,f(x)取得最小值-,此时x的取值集合为.(2)先将y=sinx图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得y=sinx的图象,再将y=sinx的图象向左平移个单位,得y=sin的图象;最后把y=sin图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,就得到y=f(x)的图象.20.(13分)设ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且,成等差数列.(1)求角A的值.(2)若a=,b+c=5,求ABC

7、的面积.【解析】(1)由已知2=+,=,cosA=,A=60.(2)a2=10=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=52-3bc,所以bc=5,所以SABC=bcsinA=.21.(14分)(2016淄博模拟)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若是第二象限角,f=coscos2,求tan的值.【解题提示】(1)由3x+“占”正弦函数的增区间,解不等式求解.(2)利用三角恒等变换公式解方程求解.【解析】(1)因为函数y=sinx的增区间为,kZ,由2k-3x+2k+(kZ)-x+(kZ),所以f(x)的单调增区间为(kZ).(2)由已知,有sin=coscos2所以sincos+cossin=即sin+cos=(cos-sin)2(cos+sin),当sin+cos=0时,由是第二象限角,知tan=-1.当sin+cos0时,有(cos-sin)2=,由是第二象限角,知cos-sin0)的最小正周期为.(1)求的值.(2)讨论f(x)在区间上的单调性.【解析】(1)f(x)=4cosxsin=2sinxcosx+2cos2x=(sin2x+cos2x)+=2sin+,因为f(x)的最小正周期为,且0,所以有=,故=1.(2)由(1)知f(x)=2sin+,若0x,则2x+,当2x+,即0x时,f(x)单调递增;当2x+,即x时,f(x)单调递减.综上所述f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.

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