第十一次课多元线性回归课件
30页1、可线性化的一元非线性回归,多重线性回归简介,前一节,我们学习了一元线性回归分析问题,在实 际应用中,有些变量之间并不是线性相关关系,但可以 经过适当的变换,把非线性回归问题转化为线性回归问 题。,可线性化的一元非线性回归,常见的几种变换形式:,1、双曲线,令,2、幂函数曲线,令,化非线性回归为线性回归,变形,3、指数函数曲线,令,变形,4、负指数函数曲线,令,化非线性回归为线性回归,变形,5、对数函数曲线,令,6、S型(Logistic)曲线,令,化非线性回归为线性回归,变形,例1 测定某肉鸡的生长过程,每两周记录一次鸡的重量, 数据如下表,由经验知鸡的生长曲线为Logistic曲线,且极限生长量 为k=2.827,试求y对x的回归曲线方程。,解 由题设可建立鸡重y与时间x的相关关系为,令,则有,列表计算,所以,所以所求曲线方程为,多重回归分析,在实际问题中,自变量的个数可能多于一个,随机变量 y与多个可控变量x1,x2,x3,xk之间是否存在相关关系,则属于多重(元)回归问题。本节讨论多重线性回归。,多重线性回归模型,随机变量 与 之间的线性关系,(1),其中,未知,则(1)式称为多
2、重线性回归模型。,多重线性回归模型,若对变量 与 分别作n次观测,则可得 一个容量为n的子样,(2),其中,为待定参数,称为回归系数。,(2)式含有p+1个参数,故观测次数应满足np+1。,则有,多重线性回归模型的矩阵形式,记,则(2)有矩阵形式,其中,确定 的最小二乘法,考虑多元函数,目标:确定 使 最小,方法:,解得,多重线性回归方程,可证:,从而,同一元线性回归一样,越大,变量 与 之间的线性相关程度越强。,(1),(2) 时,,(3) 时,,与 有线性相关关系;,与 无线性相关关系;,线性回归方程的显著性检验,线性回归方程 是否有统计意义,可检验假设,是否成立,方法:方差分析法,将总离差平方和分解,线性回归方程的显著性检验,回归平方和,反映线性关系对观测结果产生的数 据波动,QR越大,线性相关关系越强。,剩余平方和(或残差平方和),反映除线性因素之 外的其它因素对观测结果产生的数据波动,QE越大, 则其它因素对Y的影响越大。,在H0成立的条件下,可以证明:,(n为观测次数,p为自变量个数),构造F统计量,当 时,拒绝H0。,回归系数的统计检验,回归方程的有效性检验,只是解决了 与 之间是否有线性相关关系,至于变量 对 的影响是否 有统计意义,无从看出,因此,还需对回归系数 是否 为0作统计检验。,提出假设,如果H0成立,可以证明统计量,当 时,拒绝H0。,利用回归方程作预测及控制,对于给定的,点估计值,置信水平为 的预测区间为,例2 某种水泥在凝固时放出的热量Y(cal/g)与水泥中 下列4种化学成分有关:,的成分(%),的成分(%),的成分(%),的成分(%),现记录了13组观测数据,列在下表中,试求 对 的线性回归方程。,
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