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高三数学一轮总复习第七章立体几何 7.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离模拟试题

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1、【状元之路】2017届高三数学一轮总复习第七章立体几何 7.8 立体几何中的向量方法(二)求空间角与距离模拟试题高考模拟备考套餐加固训练练透考点12015浙江如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是 B1C1的中点。(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值。解析：(1)证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE，由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE。因为ABAC，所以AEBC。故AE平面A1BC。由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以A1AED为平行四边形。故A1DAE。又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC。(2)方法一：作A1FBD且A1FBDF，连接B1F。由AEEB，A1EAA1EB90，得A1BA1A4。由A1DB1D，A1BB1B，得A1DB与B1DB全等。由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1为二面角A1BDB1的平面角。由A1D，A1B4，DA1B90，得BD3，A1FB1F，由余弦定理得

2、cosA1FB1。方法二：以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示。由题意知各点坐标如下：A1(0,0，)，B(0，0)，D(，0，)，B1(，，)。因此(0，)，(，)，(0，0)。设平面A1BD的法向量为m(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量为n(x2，y2，z2)。由即可取m(0，1)。由即可取n(，0,1)。于是|cosm，n|。由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1BDB1的平面角的余弦值为。22016兰州模拟如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点。(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。解析：(1)证明：PC底面ABCD，PCAC，底面ABCD是直角梯形，且AB2AD2CD2，AC，BC。AB2AC2BC2，ACBC，PCBCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC。(2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz。设PCa，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，E，P(1,1，a)，B(0,2,0)。(1,1,0)，(1,1，a)，(1，1,0)。设平面EAC的法向量为v(x，y，z)，则即令x1，则v，BC平面PAC，平面PAC的一个法向量为u(1，1,0)，设二面角PACE的大小，则cos，解得a2，直线PA与平面EAC所成角的正弦值为cosv，。

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