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高三数学一轮总复习第七章立体几何 7.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离开卷速查

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1、开卷速查(四十七)立体几何中的向量方法(二)求空间角与距离A级基础巩固练12015课标如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC。(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值。解析：(1)证明：连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF。在菱形ABCD中，不妨设GB1。由ABC120，可得AGGC。由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC。又AEEC，所以EG，且EGAC。在RtEBG中，可得BE，故DF。在RtFDG中，可得FG。在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF。从而EG2FG2EF2，所以EGFG。又ACFGG，可得EG平面AFC。因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC。(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz。由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，。故cos，。所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为。22015课标如图，长方体ABCDA1

2、B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4。过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值。解析：(1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18。因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10。于是MH6，所以AH10。以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6,8)。设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n(0,4,3)。又(10,4,8)，故|cosn，|。所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为。B级能力提升练32015广东如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3。点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB。(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；

3、(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值。解析：方法一：(1)证明：由PDPC4知，PDC是等腰三角形，而E是底边CD的中点，故PECD。又平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，故PE平面ABCD，又FG平面ABCD，故PEFG。(2)平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，ADCD，AD平面PDC，而PD平面PDC，故ADPD，故PDC为二面角PADC的平面角。在RtPDE中，PE，tanPDC，故二面角PADC的正切值是。(3)连接AC。由AF2FB，CG2GB知，F，G分别是AB, BC且靠近点B的三等分点，从而FGAC，PAC为直线PA与直线FG所成的角。在RtADP中，AP5。在RtADC中，AC3。在PAC中，由余弦定理知，cosPAC，故直线PA与直线FG所成角的余弦值是。方法二：以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,0)，P(0,0，)，F(3,1,0)，G(2,3,0)，A(3，3，0)，D(0，3,0)。(1)证明：(0,0，)，(1,2,0)，0，EPFG。(2)平面ADC的一个法向量为n1(0,0,1)，设平面PA

4、D的法向量为n2(x，y，z)，则取y1，则x0，z，n2为平面PAD的一个法向量，cosn1，n2。记所求二面角的大小为，显然为锐角，cos，tan。(3)(3,3，)，(1,2,0)，cos，直线PA与直线FG所成角的余弦值为。42015陕西如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点。将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2。图1图2(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值。解析：(1)证明：在题图1中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC。即在题图2中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC。(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC。如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0,0)。设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为，则得取n1(1,1,1)；得取n2(0,1,1)，从而cos|cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为。

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