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数列通项公式的求法

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3.69 金贝

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常见问题

1、,等差数列与差比数列的通项公式,类型一：等差数列与等比数列的通项：,公式,练习：,类型二：类等差（比）数列,方法：累加(乘),一、若数列有形如an1anf(n)的解析式，而f(1)f(2)f(n)的和是可求的，则可用多式累(迭)加法求得an.,(2011年厦门质检)已知数列an中，a120，an1an2n1，nN*，则数列an的通项公式an_.,解析：由条件an1an2n1，nN*，即an1an2n1，得a2a11，a3a23， a4a35， an1an22n5，anan12n3，以上n1个式子相加并化简，得 ana1(n1)2n22n21. 答案：n22n21,变式探究,1已知数列an中，a11，an1an2n，求an.,解析：当n2时， a2a12，a3a222，a4a323，anan12n1. 将这n1个式子累加起来可得 ana12222n1， ana12222n112222n1 2n1. 当n1时，a1适合上式，故an2n1.,二、若数列有形如anf(n)an1的解析关系，而f(1)f(2)f(n)的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得an.,设an的首项为1的正项数列，

2、且 n an1an0，求它的通项公式,解析：由题意a11 , an0，(n1,2,3，)，,方法二:,练习,由整理得,再用累乘法也可以,练习,类型五：待定系数法求数列的通项：,则可考虑待定系数法设,构造新的辅助数列,是首项为,公比为q的等比数列，求出,再进一步求通项,若数列有形如anpan1q(n2，p，q为常数，pq0，p1)的线性递推关系，则可用待定系数法求得an. 具体思路：设递推式可化为an1Ap(anA)，,得an1pan(p1)A，与已知递推式比较，解得A ，故可将递推式化为an p（an-1+ ），构造数列bn，其中bnan ，则bn1pbn，即 p，所以bn为等比数列故可求出bnf(n)，再将bnan 代入即可得an.,已知数列an中，a11，an1 an1，求an.,解析：解法一：,数列bn为等比数列，又a132，,点评：(1)注意数列解题中的换元思想的运用，如bnan3. (2)对数列递推式an1panq，我们通常将其化为 p ，设bnanA，构造数列bn为等比数列,，,练习,四、递推式如anpan1rqn(n2，pqr0，p，q，r为常数)型的通项的求法,具体

3、思路：1.等式两边同除以qn，,已知数列an满足an4an12n(n2，nN*)，且a12.求an.,解析：解法一： an4an12n ,解法二： an4an12n，令an2n4(an12n1)，(n2)，得an4an12n，与已知递推式比较得1， an2n4 ，又a12214，an2n是首项为4，公比为4的等比数列an2n44n1， an4n2n22n2n.,练习,变式探究,5(2011年盐城模拟)在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*)，其中0.求数列an的通项公式,解析：由an1ann1(2)2n(nN*)，0，得an1ann12n12n，,所以数列an的通项公式为an(n1)n2n.,方法二：,累加,由得,五、递推式如anpan1qnr(n2，pq0，p，q为常数)型数列的通项求法具体思路：等价转化为anxnyp(an1x(n1)y)，再化为anpan1(p1)xn(p1)y，比较对应系数，解出x，y，进而转化为例3的数列,(2011年济宁模拟)已知数列an中，a1 ，点(n,2an1an)在直线yx上，其中n1,2,3，.求数列an的通项,解析：点(

4、n,2an1an)在直线yx上， 2an1ann.,令an1x(n1)y (annxy)，可化为 2an1anxn2xy0与比较系数得 x1，y2. 可化为an1(n1)2 (ann2)，,变式探究,6(2010年丰台区模拟)在数列an中，a12，an14an3n1，nN*. (1)设bnann，求数列的通项； (2)求数列an的前n项和Sn.,解析：(1)由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*. bnann，bn1an1(n1)，bn14bn. 又b1a111，所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列bn4n1.,(2)由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为 an4n1n.,七、倒数法求通项 (1)对于递推式如an1panqan1an(p，q为常数，pq0)型的数列，求其通项公式具体思路：两端除以an1an得： p q，若p1，则构成以首项为，公差为q的等差数列；若p1,转化为例3求解,(2011年保定摸底)已知数列an满足a11，n2时，an1an2an1an，求通项公式an.,解析：an1an2an1an，,变式探究,答案：,a

5、n,(2)若数列an有形如an1 的关系，求其通项的具体思路是：取倒数后得，即化为例3的数列，求出，再求得an.,设数列an满足a12，an1 (nN*)，求an.,解析：由an1取倒数，,类型六：特征根法求数列通。,（条件：若,的相邻两项关系式可化为,可用这种方法；(其中方程,该数列的特征根）,的根称为,（一）有两特根,与,，可令,构造等比数列,，则可,进而求出,等比数列通项公式求出,特征根为0与1,略解：依题意可得该数列特征根为0与1,练习,(改编),构造辅助数列 ,分析,（二）有一根,时,可令,易得是等差数列，求,进而求出,唯一特征根1,解：依题意可得该数列有惟一特征根为1,该题也可以先求出前几项，,再猜想归纳出其通项，但要特别注意要用数学归纳法证明。,练习,（三）没有特征根，则可由递推关系式得出若干项可判断,是周期数列,（题型）若数列相邻三项的关系可化为,且方程,有解，则可用待定系数法设,公比的辅助等比数列,构造新的以y为,，转化相邻两项处理；,若,有两组值，也可得到两个等比数列，分别求其通项,再由方程组求出,两种情况一起考虑，即,累加,方程思想,分别得到：,由得,练习,【解析】（1）由求根公式，不妨设,(2),(3),递推式如的数列通项的求法,（11年石家庄市模拟）若数列an中，且，则数列的通项公式为_,【解析】及知两边取常用对数得：,其他方法：有构造常数数列，取对数（注意真数大于零），取倒数，归纳法（注意要用数学归纳法证明）,左边能否因式分式？,累乘法,特征根法,

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