446编号高中立体几何证明方法及例题
24页1、 1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是必考查的问题,其中最主要的是求线线角、线 面角、面面角、点到面的距离,求角或距离的步骤是“一作、二证、三算” ,即在添置必要 的辅助线或辅助面后, 通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量, 最 后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现, 这种题型有利于考查学生归纳、 判 断等方面的能力, 也有利于创新意识的培养。 近几年立体几何探索题考查的类型主要有 : (1) 探索条件,即探索能使结论成立的条件是什么?(2)探索结论,即在给定的条件下命题的 结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法:(1)先观察,尝试给出条件再证明;(2)先 通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)把几何问题转化为 代数问题,探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索,常从条件出发,再根据所学知识,探索出要求的结论是什么,另外 还有探索结论是否存在,常假设结论存在,再寻找与条件相容还是矛盾。 (一)平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在
2、应用中 : 低一级位置关系判定高一 级位置关系;高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化: 线线线面面面 公理 4 (a/b,b/c ac/ /) 线面平行判定 / , / ab ab 面面平行判定 1 ab ab a / , / 面面平行性质 ab abA ab , /,/ / 线面平行性质 a a b ab / / 面面平行性质 1 / / a a 面面平行性质 / / / A b a a b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化: 线线线面面面 三垂线定理、逆定理 PAAOPO a a OAa PO a POa AO ,为 在 内射影 则 线面垂直判定 1面面垂直判定 a b abO l a l b l , , a a 线面垂直定义 l a l a 面面垂直性质,推论 2 b aa b a , a a 面面垂直定义 ll,且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化: 线线线面面面 线面垂直判定 2面面平行判定 2 线面垂直性质 2 面面平行性质 3 ab a b / / a b ab / / a a / / /
3、 / a a a 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定,由已知想性质。 ” 5. 唯一性结论: 1. 三类角的定义: (1)异面直线所成的角:090 (2)直线与平面所成的角:090 (时, 或) 0bb (3)二面角:二面角的平面角,0180 2. 三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算” 即:(1)找出或作出有关的角; (2)证明其符合定义; (3)指出所求作的角; (4)计算大小。 (三)空间距离: 求点到直线的距离, 经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线, 然后在相关三角形中求 解。 求点到面的距离,一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性 质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离,直线与平面的距离,面面距离都可转化为 点到面的距离。 【典型例题】【典型例题】 (一)与角有关的问题 例 1. (1) 如图, E、 F 分别为三棱锥 PABC 的棱 AP、 BC 的中点, PC10, AB6, EF7, 则异面直线 AB 与 PC 所成的角为( ) A. 60B. 45C. 30D. 120 解:解:取 AC 中点 G,连结 EG、FG,则
4、EGPCFGAB, 1 2 1 2 EGF 为 AB 与 PC 所成的角 在EGF 中,由余弦定理, cos EGF EGFGEF EGFG 222222 2 537 253 1 2 AB 与 PC 所成的角为 18012060 选 A (2)已知正四棱锥以棱长为 1 的正方体的某个面为底面,且与该正方体有相同的全面 积,则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为( ) ABCD. 13 13 3 6 3 3 26 26 解:解: 设正四棱锥的高为 ,斜高为hhh 2 2 1 2 由题意: 1 2 41 1 2 161 2 2 22 h h26 侧棱长PBhOB 22 2 6 2 2 26 2 cosPBO OB PB 2 2 26 2 13 13 选 A ( )如图,在正方体中, 为上的一个定点, 为3 111111 ABCDA B C DPA DQ A BEFCDEF 11上的任意一点, 、 为 上任意两点,且的长为定值,有下列命题: 点 P 到平面 QEF 的距离为定值; 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角为定值; 二面角 PEFQ 的大小为定值; 三棱锥 PQEF 的体积为
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