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函数的对称性(2)

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常见问题

1、.函数的对称性一、有关对称性的常用结论1、轴对称(1)f (x) = f ( x)函数 yf (x) 图象关于 y 轴对称；(2)函数 yf ( x) 图象关于 xa 对称f (ax)f (ax)f ( x) f (2 ax)f (x)f (2 ax) ；（ 3）若函数 yf ( x) 定义域为 R ，且满足条件 f (a x)f (bx) ，则函数 yf ( x) 的图象关于直线 xab2对称。2、中心对称（ 1） f (x) = f ( x)函数 yf ( x) 图象关于原点对称； .（ 2）函数 yf ( x) 图象关于 (a,0)对称f (ax)f (a x)f ( x)f (2 a x)f (x)f (2a x) ；（ 3）函数 yf ( x) 图象关于 (a,b) 成中心对称f ( ax)f (ax)2bf ( 2ax)f (x) 2b（ 4）若函数 yf ( x) 定义域为 R ，且满足条件f (ax)f (bx)c （ a,b, c 为常数），则函数 yf ( x) 的图象关于点( ab , c ) 对称。22二、练习题（一）选择题1. 已知定义域为R的函数 f (x)

2、（8，）f ( x8) 为偶函数，则（）在上为减函数，且函数 yA f (6)f (7)B.f (6)f (9)C.f (7)f (9)D.f (7)f (10)2设函数 yf (x) 定义在实数集R 上，则函数 yf (x1) 与 yf (1x) 的图象关于（）对称。A. 直线 y0B.直线 x 0C.直线 y1D.直线 x13.（中山市09 年高三统考）偶函数 f ( x) ( xR) 满足： f (4)f (1) 0 ，且在区间 0,3 与 3,)上分别递减和递增，则不等式xf ( x) 0的解集为（）A (,4)( 4,) ；B ( 4,1)(1,4)C (,4)(1,0)；D (,4)(1,0)(1,4)4. 若函数 f ( x)x2bxc对一切实数都有 f (2x)f ( 2x) ，则（）A.f (2)f (1)f ( 4)B.f (1)f (2)f (4).C.f (2)f (4)f (1)D.f (4)f (2)f (1)5函数 yf ( x) 在(0，2) 上是增函数，函数 yf ( x 2)是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.f (1)f ( 5)f

3、( 7 )B.f ( 7)f (1)f ( 5 )2222C. f (7)f (5)f (1)D.f (5)f (7)f (1)22226. 设函数 f ( x) ( xa) 3 对任意实数 x 都有 f( 2 x)f (2 x), 则 f (3)f ( 3)( )A. 124B. 124C.56D.567. 函数 f ( x) 的定义域为 R ，且满足 f (12 - x)f ( x) , 方程 f ( x)0 有 n 个实数根，这 n 个实数根的和为1992，那么 n 为（）A. 996B. 498C. 332D. 1168. 设 yf ( x) 是定义在实数集 R 上的函数，且满足f (- x)f ( x) 与 f (4 - x)f ( x)，若当x 0,2时， f ( x)x 21, 则当 x 6, 4时，f (x)（）A.x 21B.(x 2) 21C.(x 4)21D.( x 2) 219.(2009全国卷 ) 函数 f (x) 的定义域为 R ，若f ( x1) 与 f ( x - 1) 都是奇函数，则 ()Af (x) 是偶函数B f ( x) 是奇函数C f (

4、 x)f (x2)D f ( x3) 是奇函数10.(2009 四川高考 ) 已知函数 f (x) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 xf (x 1)(1 x) f ( x) ，则 f ( f ( 5) 的值是 ()125A 0B. 2C 1D. 211.设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数，且满足 f (10 - x) f (10x) 与 f (20 - x)f (20x) ，则 f ( x) 是（）A. 偶函数，又是周期函数，B.偶函数，但不是周期函数C. 奇函数，又是周期函数，D.奇函数，但不是周期函数( 二 ) 填空题12.函数 yf ( x1) 为偶函数，则函数f ( x) 的图像的对称轴方程为13.函数 yf ( x2) 为奇函数，则函数y f ( x) 的图像的对称中心为14. （ 09 年深圳九校联考）已知f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，若当 x(0,) 时， f (x) lg x ，则满足 f ( x)0 的 x 的取值范围是15.已知函数 yf ( x) 是 R 上的偶函数，对于 x R 都有 f (

5、x6)f ( x) f (3) 成立，且f ( 4)2 ，当 x1 , x2 0,3 ，且 x1f ( x1 )f (x2 )x2 时，都有x20 . 则给出下列命题：x1. f (2008)2 ；函数 yf ( x) 图像的一条对称轴为x6 ；函数 yf ( x) 在 9, 6 上为减函数；方程f ( x)0 在 9,9 上有 4 个根其中所有正确命题的序号为_（三）解答题16.设 f (x)x 21, 求 f (x1) 关于直线 x2 对称的曲线方程。17已知函数f ( x1) 的图象，通过怎样的变换可以得到函数f (x2) 的图象。18已知实系数多项式函数f ( x) 满足 f (1x)f (3x) , 并且方程f ( x)0 有四个根，求这四个根之和。19设 f (x)x 21, 若 g( x) 的图象与yf (x2) 的图象关于点(1,1) 对称，求 g (x) .参考答案（一）选择题1 4、DDDA5 8、 BACC9、解 : Qf ( x1) 与 f (x1)都是奇函数，f ( x1)f ( x 1), f ( x1)f ( x 1) ，函数 f ( x) 关于点 (1,0) ，及点 (1,0)对称，函数f ( x) 是周期 T21( 1)4 的周期函数.f ( x 3)f ( x 1 4)f (x 1)f ( x 1)f ( x 1 4)f ( x 3) ，f (x3)f (x3) ，即 f ( x3)是奇函数。故选D10、解：若 x 0，则有 f ( x1)1x f (x) 取 x1，1x

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