2019年高等数学空间曲线及其方程课件
27页第七章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节 空间曲线及其方程,空间曲线的一般方程特点:,曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,一、空间曲线的一般方程,例1 方程组 表示怎样的曲线?,解,表示圆柱面,,表示平面,,交线为椭圆.,例2 方程组 表示怎样的曲线?,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,动点从A点出发,经过t时间,运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数,,解,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质:,上升的高度与转过的角度成正比 即,上升的高度,螺距,例4. 将下列曲线化为参数方程表示:,解: (1),根据第一方程引入参数 ,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,消去变量z后得:,曲线关于 的投影柱面,设空间曲线的一般方程:,以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征:,三、空间曲线在坐标面上的投影,如图:投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影,面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在 面上的投影曲线,例5 求曲线 在坐标面上的投影.,解,(1)消去变量z后得,在 面上的投影为,所以在 面上的投影为线段.,(3)同理在 面上的投影也为线段.,(2)因为曲线在平面 上,,截线方程为,解,如图,补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,例6,解,半球面和锥面的交线为,一个圆,空间曲线的一般方程、参数方程,四、小结,空间曲线在坐标面上的投影,思考与练习,P324 题 1,2,7(展示空间图形),P324 题1,(2),(1),答案:,(3),P324 题2 (1),思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,P324 题2(2),P325 题 7,P324 3,4,5,6, 8,作业,备用题,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解:,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,
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