高等数学第五讲+黎曼积分

1、. . . 第五讲 黎曼积分（正常积分）4.1 定积分一、定积分产生的背景：计算曲边梯形面积的代数和.二、定积分的概念和定义(一)定积分的概念首先用小的矩形的代数面积去近似地代替小的曲边梯形的代数面积,然后用小的矩形的代数面积的和去近似地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),第三,让每个小的矩形的代数面积的绝对值要多么小有多么小,则小的矩形的代数面积的和去准确地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),这样我们就通过使用直边图形的面积公式得到曲边梯形的代数面积.(二) 定积分的定义定义(): 函数在闭区间有定义，划分把闭区间划分成个小区间，其中， (分割的细度)，,若极限存在，我们称极限为函数在闭区间上定积分（Riemann积分），记作. 定义(): 函数在闭区间有定义，划分把闭区间划分成个小区间，其中， (分割的细度)，,若极限存在，我们称极限为函数在闭区间上定积分（Riemann积分），记作.定义(微元法的定义): 函数在闭区间有定义，在上任取一点，按积分下限到积分上限的方向给点一个增量，的绝对值是要多么小有多么小的正数，用表示小曲边梯形的代数面积（面积

2、前加正或负号），用符号表示把闭区间上小曲边梯形的代数面积累积起来的曲边梯形的代数面积，如果的值存在，我们称为函数在闭区间上定积分（Riemann积分）.由上述两个定义可以看出(1); (2);(3) . 由定义知:表示函数定义域（轴上的区域）上点处沿方向(从积分下限到积分上限)的增量,是绝对值要多么小有多么小的实数;当时,当时,;表示,所围成的曲边梯形的面积(或)或面积的相反数(或)；函数在闭区间上连续或有有限个间断点，则极限存在，即函数在闭区间上Riemann可积；函数在闭区间上有界，则极限不一定存在，即函数在闭区间上不一定Riemann可积, 如狄利克雷函数. 三、计算: (1)常规计算法牛顿-莱布尼兹公式法,其中. 或,其中,该式说明为什么函数的所有原函数叫做函数的不定积分,并且函数的不定积分用符号表示. 分步积分法 . 换元积分法 第一换元积分法 ，其中，。第二换元积分法.(2)对称性计算法:当函数在对称闭区间上为奇函数()时,则;当函数在对称闭区间上为偶函数()时,则.四、定积分计算的例题和习题例1 （大学2004年）给出有界函数在闭区间上Riemann可积的定义。试举出一个

3、在闭区间上有界但不可积的例子，并给出证明.证明: Riemann可积的定义: 设在闭区间上的有界函数为,对,存在,当时,有,其中是一个常数, 为闭区间的任意分割, ,.在闭区间上有界但不可积的例子.存在,对,当时,有,其中的有理数.故在闭区间上有界但不可积.例2(大学2005年)求.解: 首先判断积分反常性。因为在上有间断点，并且，所以积分是反常积分。.例3(华东师大学2006年)求.解: 因为在上有间断点，并且所以积分是黎曼积分（正常积分）。因为，所以， 。进而 例4（理工大学2006年）.解: 因为在上有间断点，并且所以积分是黎曼积分（正常积分）。因为，所以，进而.例5（师大学2003年）.解: 因为为奇函数.所以.又因为, 所以.例6(科技大学2005年)计算.解: 因为,由于,所以.例7(大学2005年)求定积分.解:因为为奇函数,为偶函数,所以 例8 (交通大学2003年)求.解: .例9(交通大学2004年)求.解：令，则.例10(理工大学2004年)求.解：因为，所以令,进而.（1） 当时, 有.（2） 当时, 有练习:1 (中国科学院物理与数学研究所2004年)计算.（

4、提示:利用降幂公式，答案：）.2 (大学2007年)计算.（提示: 根据积分的上下限作变量替换.答案：）.3 (师大学2005年)计算.（提示: 根据积分的上下限作变量替换.答案：）.4 (理工大学2006年)求.（作变量替换.答案：）5 (理工大学2004年)计算,为正整数. （提示: .答案：）6 (师大学2005年)求.（答案：）.7 (理工大学2005年)计算定积分.（答案：）.8 (理工大学2003年)设函数,计算定积分.（提示: 作变量替换. 答案：）.9 (大学2004年)设的一个原函数是,计算定积分.（提示: 作变量替换.答案：）.10 (大学2005年)设,计算定积分.（提示: 用分部积分法. 答案：）.11 (科技大学2006年)设,证明: (对进行变量替换). 12 (理工大学2004年)设在上具有二阶连续导数,且,求(提示: 用分部积分法. 答案: ).五、定积分的应用1、函数在闭区间上连续，将函数的图形绕轴旋转一周，则所得到的旋转体的体积为：.2、函数在闭区间上连续，将函数的图形绕轴旋转一周，则所得到的旋转体的体积为：.3、 函数在闭区间上连续，,将函数所围成

5、的图形绕轴旋转一周，则所得到的旋转体的体积为：.4、计算旋转体的表面积如果函数在上连续, ,将函数的图形绕轴旋转一周，则所得到的旋转体的表面积为: .推导如下:在闭区间上任取一点,沿到的方向给点一个增量,是要多么小有多么小的正数, 在点处做的平行平面与旋转体边界相交于一个圆,则改圆的周长为,小位微元的表面积为,由微元法知, 旋转体的表面积.练习:1(复旦大学2001年)请计算由抛物线和轴所围成的平面区域的面积.(答案:)2 (大学2005年)设,试确定参数,使得曲线和它在点的法线方程,以及与轴所围成区域的面积最小. (答案: , 最小面积为)3(大学2007年)在平面上,光滑曲线过点,并且曲线上任意一点处的切线斜率与直线的斜率之差等于,为常数. (1)求曲线的方程;(2)如果曲线 与直线所围成的平面图形的面积为,确定的值(答案: 曲线的方程,)4(科技大学2004年)求摆线,在一个拱形()绕横轴旋转所产生的体积. (答案:).5(科技大学2004年)求对数螺线从点起变到点的弧长. (答案:)6(大学2003年)设,求星型线的全长. (答案:)7(师大学2005年)求曲线的弧长. (答案

6、:)8(大学2003年)过点做抛物线的切线，求：（1）切线方程；（2）由抛物线、切线及轴所围成的平面图形的面积;(3)该图形分别绕轴旋转一周的体积. (答案: 切线方程:; 面积:;体积).9(大学2006年)设有两条抛物线和,记它们交点横坐标的绝对值为.(1)求这两条抛物线所围成平面图形的面积;(2)求级数的和.(答案: 平面图形的面积; ).10 (航空航天大学2005年)设,求直线和抛物线所围图形绕直线旋转而成的旋转体的体积. (答案:).11(师大学大学2005年) 求由抛物线与直线所围图形的面积. (答案:).12(师大学大学2005年) 求由抛物线与抛物线所围图形的面积. (答案:).13(大学2003年)求圆柱体与所围立体的体积. (答案:)14(中国科学院2006年) 求星型线绕直线旋转所成的曲面的表面积. (答案:).15(东南大学2005年)设悬链方程为,它在上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为.该曲边梯形绕轴旋转一周所得旋转体的体积、侧面积和处的截面面积分别记为，证明：（1），；（2）；（3）.4.2二重积分一、二重积分产生的背景: 曲顶柱体体积的代数和.二、二重

7、积分的概念和定义(一) 二重积分的概念首先用小的长方体的代数体积去近似地代替小的曲顶柱体的代数体积,然后用小的长方体的代数体积的和去近似地代替小的曲顶柱体的代数体积的和(曲顶柱体的代数体积),第三,让每个小的长方体的代数体积的绝对值要多么小有多么小,则小的长方体的代数体积的和去准确地代替小的曲顶柱体的代数体积的和(曲顶柱体的代数体积),这样我们就通过使用直边图形的体积公式得到曲顶柱体的代数体积.(二) 二重积分的定义定义 函数在闭区域上有定义，划分把闭区域划分成个小区域，用表示区域的面积， ，,若极限存在，我们称极限为函数在闭区域上的二重积分（Riemann积分），记作.由定义知:分别表示定义域（面上的区域）中点处和轴正方向的增量(该变量更确切),都是要多么小有多么小的正数(不能为负);表示为顶，底为区域的曲顶柱体的体积()或体积的相反数()；函数在闭区域上连续或有有限条间断曲线，则极限存在；表示在积分区域面上长、宽分别是的小微元的面积, 即.定义(微元法的定义): 函数在闭区域有定义，在闭区域上任取一点，分别按轴的正向给点一个增量向量，是要多么小有多么小的正数，用表示曲顶柱体的代数体

8、积（体积前加正或负号），用符号或表示把闭区域上小曲顶柱体的代数体积累积起来的曲顶柱体的代数体积，如果(无限个实数的和)的值存在，我们称或为函数在闭区域上的二重积分（Riemann积分）.三、二重积分的计算: 1、在直角坐标系下的计算(1) 矩形区域:.为什么矩形积分区域上的二重积分有两种计算方法,原因是: 对矩形区域每个点,要使点布满整个矩形区域,并且点没有重复,我们有两种科学有效的方法: (1)首先让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值围为,进而得到, 这是平行于轴的一条恒定长线段(和的取值无关), 然后让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值围为,这时点就布满矩形区域, 进而得到矩形区域上的积分. (2) 首先让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值围为,进而得到, 这是平行于轴的一条恒定长线段(和的取值无关), 然后让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值围为,这时点就布满矩形区域, 进而得到矩形区域上的积分.(2) 型区域:.为什么一般的型积分区域上的二重积分有一种计算方法,并且要先积,原因如下: 对型区域每个点,要使点布满整个型区域,首先让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值围为,进而得到, 这是平行于轴的一条非恒定长线段(和的取值有关), 然后让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值围为,这时点就布满矩形区域, 进而得到矩形区域上的积分. 而对型区域每个点, 如果首先让点沿轴移动, 起点为,终点为,即的取值围为,进而得到, 这是平行于轴的一条恒定长线段(和的取值无关), 然后让点沿轴移动,无论怎么确定起点和终点, 点所覆盖的区域不能布满型区域或超出型区域,所以对一般的型区域要先积.(3)型区域:.为什么对型区域要先积,请同学做出说明.2、在极坐标系下的计算（1）.,其中与轴的正向所成的角为.（2），为参数。,，。注意: 通过极坐标变换,把直角坐标系下的积分转化成极坐标系下的积分,这种方法虽不能减少积分变量(一般情况下),但可改变被积函数的形式, 使被积函数转化为容易积分的被积函数. 极坐标变换计算二重积分,一般被积函数同时含有项.通过极坐标变换计算二重积分,要特别注意,其中为雅克比行列式的绝对值.3、对称性计算法:(1)当积分区域关于轴对称时,且函数时,则;当积分区域关于轴对称时,且函数时,则,其中区域为的区域.(2)当积分区域关于轴对称时,

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