抽象函数-题型大全(例题-含答案) .
30页1、重 庆 书 之 香 教 育 CHONG QING EDUCATION 高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:一、求表达式:1.换元法:即用中间变量表示原自变量的代数式,从而求出,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1:已知 ,求.解:设,则2.凑合法:在已知的条件下,把并凑成以表示的代数式,再利用代换即可求.此解法简洁,还能进一步复习代换法。 例2:已知,求解:又,(|1)3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。例3 已知二次实函数,且+2+4,求.解:设=,则=比较系数得4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数,当 0时,求解:为奇函数,的定义域关于原点对称,故先求0,为奇函数,当0时例5一已知为偶函数,为奇函数,且有+, 求,.解:为偶函数,为奇函数,,不妨用-代换+= 中的,即显见
2、+即可消去,求出函数再代入求出5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出的表达式例6:设的定义域为自然数集,且满足条件,及=1,求解:的定义域为N,取=1,则有=1,=+2,以上各式相加,有=1+2+3+=二、利用函数性质,解的有关问题1.判断函数的奇偶性:例7 已知,对一切实数、都成立,且,求证为偶函数。证明:令=0, 则已知等式变为在中令=0则2=2 0=1为偶函数。2.确定参数的取值范围例8:奇函数在定义域(-1,1)内递减,求满足的实数的取值范围。解:由得,为函数,又在(-1,1)内递减,3.解不定式的有关题目 例9:如果=对任意的有,比较的大小解:对任意有=2为抛物线=的对称轴又其开口向上(2)最小,(1)=(3)在2,)上,为增函数(3)(4),(2)(1)(4) 五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。例1、已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(xy)f(x)f(y),且当x0时,f(x)0,f(1)2,求f(x)在区间2,1上的值域。分析:由题设可知,函数f(x)是的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究
3、它的单调性。解:设,当,即,f(x)为增函数。在条件中,令yx,则,再令xy0,则f(0)2 f(0), f(0)0,故f(x)f(x),f(x)为奇函数,f(1)f(1)2,又f(2)2 f(1)4, f(x)的值域为4,2。例2、已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)f(y)2 + f(xy),且当x0时,f(x)2,f(3)5,求不等式的解。 分析:由题设条件可猜测:f(x)是yx2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设,当,则, 即,f(x)为单调增函数。 , 又f(3)5,f(1)3。, 即,解得不等式的解为1 a 3。2、指数函数型抽象函数例3、设函数f(x)的定义域是(,),满足条件:存在,使得,对任何x和y,成立。求:(1)f(0); (2)对任意值x,判断f(x)值的正负。分析:由题设可猜测f(x)是指数函数的抽象函数,从而猜想f(0)1且f(x)0。解:(1)令y0代入,则,。若f(x)0,则对任意,有,这与题设矛盾,f(x)0,f(0)1。(2)令yx0,则,又由(1)知f(x)0,f
4、(2x)0,即f(x)0,故对任意x,f(x)0恒成立。例4、是否存在函数f(x),使下列三个条件:f(x)0,x N;f(2)4。同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。分析:由题设可猜想存在,又由f(2)4可得a2故猜测存在函数,用数学归纳法证明如下:(1)x1时,又x N时,f(x)0,结论正确。(2)假设时有,则xk1时,xk1时,结论正确。综上所述,x为一切自然数时。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。例5、设f(x)是定义在(0,)上的单调增函数,满足,求:(1)f(1);(2)若f(x)f(x8)2,求x的取值范围。分析:由题设可猜测f(x)是对数函数的抽象函数,f(1)0,f(9)2。解:(1),f(1)0。(2),从而有f(x)f(x8)f(9),即,f(x)是(0,)上的增函数,故,解之得:8x9。例6、设函数yf(x)的反函数是yg(x)。如果f(ab)f(a)f(b),那么g(ab)g(a)g(b)是否正确,试说明理由。分析: 由题设条件可猜测yf(x)是对数函数的抽象函数,又yf(x)的反函数是yg(x)
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