2021届高考数学一轮复习第九章概率与统计第10讲离散型随机变量的均值与方差课件6

1、第10讲 离散型随机变量的均值与方差,1.离散型随机变量的均值和方差,一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：,则称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn 为随机变量 X 的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,2.均值和方差的性质,设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb， 则 E(Y)E(aXb)_， D(Y)D(aXb)a2D(X).,aE(X)b,3.两点分布及二项分布的均值和方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)p(1p). (2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)np(1p).,p,np,1.有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回,地任取 3 件.若表示取到次品的个数，则 D()(,),C,2.已知随机变量的分布列是：,),B,则 D()( A.0.6 C.1,B.0.8 D.1.2,解析：E()10.4 20.230.4 2 ，则 D()(1 2)20.4(22)20.2(32)20.40.8.,4.(2017 年新课标)一批产品的二等品率为 0.02，从这批 产品中每次随机取一件，有

2、放回地抽取 100 次，X 表示抽到的,二等品件数，则 D(X)_.,1.96,解析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即 XB(100,0.02)， 由二项分布的期望方差公式 ， 可 得 D(X) np(1 p) 1000.020.981.96.,考点 1 超几何分布的期望和方差,例 1：(2018 年天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员 工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人， 进行睡眠时间的调查.,(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从,这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.,用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变,量 X 的分布列与数学期望；,设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也,有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率.,解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3 22，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、 乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人. (2)随机变量

3、 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.,【跟踪训练】,1.(2017 年北京)为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者 随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药.一段 时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成图 9-10-1，其中“*”表示服药者，“”表示未服药者.,图 9-10-1,(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值,小于 60 的概率；,(2)从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记为选出 的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求的分布列和数学期望 E()；,(3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服,药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出结论),解：(1)由图知，在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于 60 的有 15 人， 从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值小,于 60 的概率为,15 50,0.3.,(2)由图知，A，B，C，D 四人中，指标 x 的值大于 1.7 的 有 2 人：A 和 C. 的所有可能取值为 0,1,2.,2.(2017 年

4、山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法 评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的 志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙 种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来 评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4， A5，A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接 受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.,(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的,概率；,(2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分,布列与数学期望 E(X).,考点 2,二项分布的期望和方差,例 2：(2018 年新课标)某工厂的某种产品成箱包装，每 箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检 验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检 验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0p1)，且各件产品 是否为不合格品相互独立. (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)，

5、求 f(p) 的最大值点 p0.,(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品， 以(1)中确定的 p0 作为 p 的值.已知每件产品的检验费用为 2 元， 若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用.,若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用,与赔偿费用的和记为 X，求 E(X)；,以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该,对这箱余下的所有产品作检验？,解：(1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为,令 f(p)0，得 p0.1.,当 p(0,0.1)时，f(p)0；当 p(0.1,1)时，f(p)0. f(p)的最大值点为 p00.1. (2)由(1)知，p0.1.,令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意,知 YB(180,0.1)，X20225Y，即 X4025Y.,E(X)E(4025Y)4025E(Y)490.,若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费,为 400 元.,由于 E(X)400，故应该对余下的产品作检验.,【规律方法】(1)求随机变量的期望与方差时，可首先分析 是否服

6、从二项分布，如果B(n，p)，那么用公式 E()np， D()np(1p)求解，可大大减少计算量.,(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系 的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(ab) aE()b 以及 E()np 求出 E(ab)，同样还可求出 D(a,b).,【跟踪训练】,3.(2019 年天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30,且任一同学每天到校情况相互独立.,(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天,数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；,(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前 到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求 事件 M 发生的概率.,P(X3，Y1)P(X2，Y0) P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0),4.中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课 程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法 的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设 大学先修课程已有两年，两年共招收学生 2 000 人，其中有 300 人参与学习先修课

7、程，两年全校共有优等生 200 人，学习先修 课程的优等生有 60 人.这两年学习先修课程的学生都参加了考 试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分 100 分)，结果 如下表所示：,(1)填写列联表，并画出列联表的等高条形图(图 9-10-2)， 并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联 表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认 为学习先修课程与优等生有关系？,图 9-10-2,(2)已知今年有 150 名学生报名学习大学先修课程，以前两 年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课 程学习成绩的概率.,在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得,某高校自主招生通过的概率；,设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招,生通过的人数为，求 E().,参考数据：,解：(1)列联表如下：,等高条形图如图 D113： 图 D113 通过图形可判断学习先修课程与优等生有关系， 通过列联表，得,思想与方法,利用分类讨论思想求数学期望,例题：有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如 下：甲公司底薪 80 元，送餐员每单抽成 4 元；乙

8、公司无底薪， 40 单以内(含 40 单)的部分送餐员每单抽成 6 元，超过 40 单的 部分送餐员每单抽成 7 元.现从这两家公司各随机选取一名送餐 员，分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数分布表：,(1)从记录甲公司的 50 天送餐单数中随机抽取 3 天，求这 3,天的送餐单数都不小于 40 单的概率；,(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率,视为概率，回答下列两个问题：,求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；,小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果 仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你 的理由.,解：(1)由表知，50 天送餐单数中有 30 天的送餐单数不小 于 40 单， 记抽取的 3 天送餐单数都不小于 40 单为事件 A，则,(2)设乙公司送餐员的送餐单数为 n，日工资为 X 元，则 当 n38 时，X386228； 当 n39 时，X396234； 当 n40 时，X406240；,当 n41 时，X4067247； 当 n42 时，X40614254. X 的分布列为,依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为,380.

9、2390.2400.3410.2420.139.8， 甲公司送餐员的日平均工资为 80439.8239.2(元)，,238.6239.2，小张应选择甲公司应聘.,【跟踪训练】,5.每年 5 月到 7 月，是芒果的成熟季节，华南农业大学校 内也种植了很多食用芒果.据该校后勤处负责人介绍，他们校内 的芒果种植过程中没有使用过农药，也没有路边那种绿化芒的 污染，可以放心食用.2018 年该校的芒果也迎来了大丰收.6 月 25 日，该校南北校区集中采摘芒果，并将采摘到的芒果免费派 送给学校师生.现随机从一些芒果树上摘下 100 个芒果，其质量 分别在100,150)，150,200)，200,250)，250,300)，300,350)， 350,400)(单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图 9-10-3.,(1)现按分层抽样从质量为250,300)，300,350)的芒果中随 机抽取 9 个，再从这 9 个中随机抽取 3 个，记随机变量 x 表示 质量在300,350)内的芒果个数，求 x 的分布列及数学期望. (2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视 为概率，假如你是经销商去收购芒果，该校当时还未摘下的芒 果大约还有 10 000 个，现提供如下两种收购方案：,A：所有芒果以 10 元/千克收购；,B：对质量低于 250 克的芒果以 2 元/个收购，高于或等于,250 克的以 3 元/个收购.,通过计算确定你会选择哪种方案？,图 9-10-3,解：(1)9 个芒果中，质量在250,300)和300,350)内的分别 有 6 个和 3 个. 则 x 的可能取值为 0,1,2,3.,(2) 方 案 A ： (1250.002 1750.002 2250.003 ,2750.008,3250.004,3750.001)5010 000 10,0.00125 750.,方案 B： 低 于 250 克 ： (0.002 0.002 0.003)5010 0002 7000(元)； 高于或等于 250 克：(0.0080.0040.001)5010 0003 19 500(元)； 总计 700019 50026 500(元). 由 25 75026 500，故 B 方案支

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