函数的最值和导数在经济中的应用课件
33页1、经济数学,3.4.1 函数的最值,最值的定义,如果函数f(x)在其定义域a,b上的函数值满足 其中 则称 为函数的最小值, 为函数的最大值。,3.4 函数的最值与导数在经济中的应用,经济数学,3.4.1 函数的最值,我们知道,连续函数 在闭区间 上一定存在最大值和最小值,且最大值和最小值只可能在区间 内的极值点和端点处得到因此可直接求出一切可能的极值点(驻点及个别不可导点)和端点处的函数值,比较这些数值的大小,即可得出函数的最大值和最小值。,经济数学,3.4.1 函数的最值,经济数学,3.4.1 函数的最值,如图所示,如果在 上单调增加,则函 数的最小值是, 最大值是。,经济数学,3.4.1 函数的最值,经济数学,3.4.1 函数的最值,如右图所示,如果在 上单调减少,则函 数的最小值是, 最大值是。,经济数学,3.4.1 函数的最值,在什么情况下函数 的极大值一定是最大值,在什么情 况下函数 的极小值一定是最小值,?,经济数学,3.4.1 函数的最值,如果连续函数 在 上仅有一个极大值而 没有极小值,则此极大值就 是 在 上的最大值, 如右图所示。,经济数学,3.4.1 函数的最值,
2、如果连续函数 在 上仅有一个极小值而 没有极大值,则此极小值就 是 在 上的最小值, 如右图所示。,经济数学,3.4.1 函数的最值,求函数 在上的最值。,解:,因为,经济数学,3.4.1 函数的最值,求函数 在上的最大值和最小值。,解:,因为,显然 与 是 的不可导点,令 ,,得驻点为 ,,比较各值,得函数最大值为 ,最小值为 。,经济数学,(4) 训练题一,3.4.1 函数的最值,1 . 求函数 在 上的最大值和最小值。,答案:最大值f(-1)=10,最小值f(3)=-22,经济数学,3.4.2 最值在经济问题中的应用举例,设某产品的总成本函数为 (元)(为产品的产量),求当产量为多少时,该产品的平均成本最小,并求最小平均成本?,解:,该产品的平均产品函数为,令 ,即,求得唯一驻点 ,,所以 在 处取得最小值,最小值为,又因为,经济数学,(2) 训练题二,3.4.2 最值在经济问题中的应用举例,1. 设某产品的价格与需求的关系为 ,总成本函数 (元),求当产量和价格分别是多少时,该产品的利润最大,并求最大利润,答案:当产品为250个单位,价格为175元/单位时, 利润最大,最大利润
3、为16950元,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,1.边际与边际分析,定义3.2,边际函数 反映了函数 在点 处的变化率。,设函数 在点 处可导,则导函数 称为函数 的边际函数。 也称为函数在 处的边际函数值。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,1.边际与边际分析,因为 ,当 , 时有 因此,函数 在点 处的边际函数值的具体意义是, 当 在点 处改变一个单位时,函数 近似地改变 个单位。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,1.边际与边际分析,求函数 在点 处的边际函数值。,解:,它表示函数在 处,当 改变一个单位时,函数近似地改变14个单位。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,2.边际函数在经济学中的应用,边际需求的定义,设需求函数 在点 处可导(其中 为需求量,为价格),则其边际函数 称为边际需求函数。简称边际需求。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,边际供给的定义,若供给函数 在点 处可导(其中 为供给量,为价格),则其边际函数 称为边际供给函数。简称边际供给。,2.边际函数在经济学中的应用,经济数学,3.4.3 导数在经
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