函数的周期性和对称性课件
32页1、函数的性质 -对称性、周期性,(1)若 关于直线 对称,一、函数的对称性,若函数 上任意一点关于某直线(或某点)的对称点仍在 上,就称 关于某直线(或某点)对称,这种对称性称为自对称。,(2)若 关于点 对称,两个恒等式的形式均不唯一,要记住本质构造.,定理:若函数 满足 ,那么函数以 为对称轴。,cor.若函数 满足 ,那么函数以 为对称轴。,即:,定理:若函数 满足 ,那么函数关于点 对称。,cor.若函数 满足 ,那么函数关于点 对称 。,即:,2)若 ,则函数 关于_对称;,注:1.当 时,函数关于直线 对称,2.当 时,函数关于点 对称,偶函数-特殊的轴对称函数,奇函数-特殊的点对称函数,一般地,1)若 ,则函数 关于 对称.,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)=f-1(x),f(x)=f(2m-x),f(x)=2n-f(2m-x),Ex:若函数,12,关于x=0对称,例1:已知 的图象,画出 和 的图象,并指出两者的关系。,若函数 上任意一点关于某直线(或某点)的对称点在 上,就称 和 关于某直线(或某点)对称,这种对称性称为互对称。,一般地, 函数 和
2、 关于_对称.,记忆:令x+a=-x+b,可求得对称轴.,y=-f(-x),y=-f(x),y=f(-x),y=f-1(x),y=-f-1(-x),y=f(2m-x),y=2n-f(x),y=2n-f(2m-x),例3:设 的图象与 的图象关 于直线 对称,求 的解析式。,例2:将函数 右移2个单位得到图像C1,有C1和C2的图像关于点 对称,求C2的函数解析式。,利用对称性求解析式,(一)、互对称问题常用轨迹代入法求解析式,例4:设 图象关于直线 对称,在 上, 求当 时 的解析式。,例5:设 是定义在R上的偶函数,它的图 象关于直线 对称,已知 时,函数 求当 时 的解析式,(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换,关于直线 对称,关于直线 对称,关于 对称,关于点 对称,常见函数的对称性,一个函数本身的对称性称为自对称,分成 关于某直线对称或某点对称.,原点,二、函数的周期性,理解(1).是否所有周期函数都有最小正周期?,1.定义:对于函数 ,若存在非零常数T,使得 恒成立,则称 为周期函数,T是函数的一个周期。若所有周期中存在一个最小正数,则称它是函数的最小正周期。,(2).
3、若T是 的一个周期,则kT(k是非零整数)均是 的周期吗? (3)周期函数的定义域D可以为闭区间吗?,T= (a-b),思考:若 ,函数 具有什么性质?,注:除了定义式是充要条件外,其余均为充分非必要条件,2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明),3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。 性质1.若函数 以 为对称轴,那么此函数是周期函数,周期T=,X=a,X=b,性质2.若函数 以 为对称点,那么此函数是周期函数,周期T=,假定,(a,0),(b,0),性质3.若函数 以 为对称点,以 为对称轴,那么此函数是周期函数,周期 T=,假定,X=b,(a,0),X,Y,O,练习1:定义在R上的函数 满足 且方程 有1001个根,则这1001个根的和?,4:如果 那么,3:如果 那么,2:函数 图象关于点 对称,则,5:(1)定义在R上偶函数 满足 则方程 在区间 上至少有( )个根。 (2)将上题中的“偶函数”改成“奇函数”,其余条件不变,则在区间 至少有( )个根。,重要结论:若 奇,且周期为T,则必有,注:可用模拟图,直观明了,思考:若 周期为 ,又 关于 对称,能否推出 是偶函数?若能, 能否严格证明?,练习:1.若 为定义在R上的奇函数,且关于直线 对称,问: 是否为周期函数?若是,求出它的一个周期。,2. 若 为定义在R上偶函数且满足 问: 是否关于直线 对称?若是,请给出证明。,3:设奇函数 ,且 当 则,5:设 是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线 对称,已知 时,函数 求当 时 的解析式。,6:函数 是定义在R上的偶函数,且对任意的实数x,都有 成立,若当 时, (1)求 时,函数 的表达式; (2)求当 函数 的表达式; (3)若函数 的最大值为 解关于x不等式,
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