东北大学-数值分析-课后习题答案课件

1、1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.,x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.,一.习题1（第10页）,解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4,3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 .,相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%.,有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位.,1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032,解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.,1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字?,解 因为101/2=3.162=0.316210,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有,r=0.5101-n/3.1620.5101-n/30.01%,因此只需n=5.即取

2、101/2=3.1623,解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.017863,1-4.求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有四位有效数字,2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组,解,二.习题2 (第50页),回代得解: x3=1, x2=-1, x1=0,2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中,解,，所以,2-4.对矩阵A进行LDM分解和Crout分解，其中,解,2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组Ax=b，其中,解,2-6(1).给定方程组,a.用Cramer法则求其精确解. b.用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算).,解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899,b.用Gauss消元法,2-8.用追赶法求解方程组:,回代得解: y=1, x=0.,再用列主元Gauss消元法,回代得解: y=1, x=1.,解,2-10.证明下列不等式: (1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;,证明 (1

3、)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y,(2) 因为 x=(x-y)+yx-y+y,所以 x-yx-y ,同理可证 y-xx-y,于是有 |x-y|x-y .,2-11.设为一向量范数,P为非奇异矩阵,定义xp= Px, 证明xp 也是一种向量范数.,证明 (1)xp=Px0,而且Px=0Px=0 x=0,(3)x+yp=P(x+y)=Px+PyPx+Py=xp+yp,(2)xp=P(x)=Px=|Px=|xp,所以xp是一种向量范数.,2-12.设A为对称正定矩阵,定义xA=,证明A是一种向量范数.,证明 由Cholesky分解有A=GGT,所以xA,=GTx2,由上题结果知xA是一向量范数.,2-16.对任意矩阵范数,求证:,证明 (1)因为A=AEAE ,所以E1.,(2)1E=AA-1AA-1 ,故,2-17.证明: (1)如果A为正交矩阵,则Cond2(A)=1;,(2)如果A为对称正定矩阵,则Cond2(A)=1/n,1和n分别为A的最大和最小特征值.,证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A2A-12=1.,(2)A对称正定,ATA=A2,

4、A2=1. A-12=1/n.,(3)A-1-B-1=A-1(B-A)B-1A-1B-1A-B,三.习题3 (第75页),3-2.讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中,解 (1) J迭代法的迭代矩阵为,得(2+5/4)=0,即1=0,2= ,3= ,故(B)=,所以J迭代法不收敛.,(2)类似可得(B)=0,(G)=2, 故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.,所以,(G)=1/2, 故G-S迭代法收敛.,G-S迭代法的迭代矩阵为:, 得(2+1)2=0,故(G)=1/2.,3-3.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组,J迭代法有x(1)=(1.2,1.5,2)T, x(1)-x(0)=2,取初始近似x(0)=(0,0,0)T,问各需迭代多少次才能使误差x(k)-x*10-6.,解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为,G-S迭代法有x(1)=(1.2,1.35,2.11)T, x(1)-x(0)=2.11,B=1/3=0.33333 , G=1/4=0.25,易得:(B)=|,(G)=2.故当|1时两种方法都收敛.,3-4.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组Ax

5、=b,其中,J迭代法:,取k=14.,G-S迭代法:,取k=11.,问取何值时这两种迭代法是收敛的?,解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为,3-7.给定方程组,计算结果如下:,取x(0)=(1.01,1.01)T,分别用J迭代法和G-S迭代法求解,问是否收敛?若收敛哪一种方法收敛得快?,解 (1)J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分别为,计算结果如下:,可见,J迭代法和G-S迭代法均不收敛.,(2)J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分别为,可见,J迭代法和G-S迭代法均收敛,且G-S迭代法收敛的快.,实际上, (B)=31/21 ,(G)=31.,3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.,解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称正定矩阵,故当02时,SOR方法收敛.,3-9.给定方程组,试建立一个收敛的迭代格式,并说明收敛的理由.,解 可建立如下形式的迭代格式,因为迭代矩阵为,所以此迭代法收敛.,四.习题4 (第102页),4-1.证明方程1-x-sinx=0在0，1内有一个根，使用二分法求误差不大于0.510-4的根需要计算多少步?,解 记(x)=1-x-sinx

6、,则(x)在0,1连续,(0)=10, (1)=-sin10,故方程在0,1内有根,又(x)=-1-cosx0, x0,1,所以方程在0,1内仅有一个根.,可见,需要计算14步.,由于,所以k4/log2=13.29,4-3.比较使用下述方法求方程ex+10 x-2=0的正根，准确到三位小数所需要的计算量:,(1) 在区间0,1内用二分法;,(2) 用迭代法,取x0=0.,解 (1)由,(2) 迭代法的迭代函数为(x)=(2-ex)/10, |(x)|= ex/10e/101,取L=e/10,且x1=0.1,由,k3/log2=9.97 ,所以需要计算10步.,可得,所以,只需迭代5步.,可得,若取L=e0.1/10,可得k2.46,所以只需迭代3次.,4-4.设(x)=cosx,证明:任取x0,迭代式xk+1=(xk),k= 0,1,2,均收敛于方程x=(x)的根 .,证明 因为对任意x0,都有x1=cosx0-1,1,所以只需证明迭代式在区间-1,1收敛.,因为(x)=cosx连续可导,|(x)|=|sinx|sin11,所以(x)是区间-1,1上的压缩映射,因此结论成立.,这里迭

7、代函数(x)=,解 记(x)=x3+2x-5C0,2,且(0)=-50,所以方程在区间0,2内有根,建立迭代格式,4-5.验证区间0,2是方程x3+2x-5=0的有根区间,并建立一个收敛的迭代格式,使对任何初值x00,2都收敛,并说明理由.,由于,01(x),所以(x)是区间0,2上的压缩映射,故迭代式收敛.,证明 这里(x)=x-(x),由于对任意(0,2/M),均收敛于(x)=0的根 .,4-7.给定函数(x),设对一切x,(x)存在且0m(x) M,证明对任意(0,2/M),迭代式,2 , x0,2,且 |(x)|=,2/31 , x0,2,-1=1-2(x)=1-(x)1,所以|()|1,故迭代法收敛.,解 将x=(x)化为x=-1(x),建立迭代格式xk+1=-1(xk),取x0=4.5,实际计算时用格式xk+1=+arctanxk ,k=0,1,2,计算结果如下,4-8.已知x=(x)在a,b内仅有一个根,而当xa,b时,|(x)|k1,试问如何将x=(x)化为适于迭代的形式?将x=tanx化为适于迭代的形式,并求在x=4.5附近的根.,由于|-1(x)|=1/|(x)|1

8、/k1,故迭代法收敛.,将x=tanx化为x=arctanx,建立格式xk+1=arctanxk ,已得到精确到小数点后6位的近似值x5=4.493409.,的一个近似值,用Newton迭代法求,取x0=1.3,计算结果如下,4-10.已知1.3是,解 对方程(x)=x4-3=0建立Newton迭代格式,则有,所以取x3=1.3160740,已精确到小数点后6位.,的更好近似值, 要求准确到小数点后五位.,4-12.用Newton迭代法于方程xn-a=0,和1-a/xn=0,(a 0),分别导出求,的迭代公式,并求,由于,解 迭代格式分别为,所以对(1)有,4-13.证明迭代公式：xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0, 1,2,是求,对(2)有,证明 设,的三阶方法.,则有: =(2+3a)/(32+a),故 2=a , 即,又由于,所以有,因此是三阶方法.,五.习题5 (第131页),5-1.用Gerschgorin圆盘定理估计下列矩阵的特征值.,解 (1)三个圆盘为|-1|0.2,|-2|0.4,|-3|0.3.是相互独立的,因此,三个特征值分别为;,(2)三个

9、圆盘为|-4|2,|-2|1,|-9|2.前两个圆盘连通,后一个独立,因此, 1,2,落在前两个圆盘的连通区域内, 7311.,0.811.2 , 1.622.4 , 2.733.3,5-5.求矩阵A按模最大和最小特征值.其中,解 用幂法求A的按模最大特征值,计算公式为:,v(k)=Au(k-1),k=max(v(k),u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.,取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:,取17=19.301,解 用反幂法求A的按模最小特征值,计算公式为:,Av(k)=u(k-1),k=max(v(k),u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.,取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:,取n1/15=4.8686,5-7.利用带位移的反幂法计算矩阵的特征值.,解 作位移矩阵B=A-7E ,建立计算公式:,Bv(k)=u(k-1),k=max(v(k),u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.,取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:,取7+1/7=6,5-9(2)利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值，其中,解 记,取p=1，q=2，则有,cos=(1+t2)-1/2=0.7071, sin=tcos0.7071,类似地有,所以取 17.37228 ,22.99991 ,31.62781,5-10.设矩阵H=E-2xxT,向量x满足xTx=1,证明:,(1)H为对称矩阵,即HT=H; (2)H为正交矩阵,即HTH=E;,(3)H为对合矩阵,即H2=E.,证明 (1)因为HT=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H对称.,6-1.当x=1,-1,2时,(x)分别为0,-3,4,求(x)的二次插值多项式p2(x).,(2)因为HTH=(E-2xxT)T(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT=E,故H正定.,(3)由(1)和(2)即得,H是对合矩阵.,六.习题6 (第180页),解法一. 基函数法:,p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x),6-2.设l2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3为插值节点的3次插值基函数,求,解法二. 待定系数法,设p2(x)=(x-1)(ax+b),

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