2020年全国高中数学联合竞赛二试试题卷(高联二试含答案及评分标准)
6页1、2020 全国高中数学联赛二试 一、如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=BC,I 为内心,M 为 BI 的中点,P 为边 AC 上的一点,满足 AP=3PC,PI 延长线上一点 H 满足 MHPH,Q 为ABC 的外接圆上劣弧 AB 的中点,证明:BH QH 二、给定整数 n3,设 1232122 ,., ,., nn a a aab bb是 4n 个非负实数,满足 122122 .0 nn aaabbb+=+, 且对任意1,2,.,2in=,有 21iiii aabb + +, (这里 211222211 , nnn aa aa bb + =) , 求 122 . n aaa+的最小值。 三、设 1212 1,2,2,3,4,. nnn aaaaan =+=证明:对整数5, n na必有一个模 4 余 1 的素因子 四、给定凸 20 边形 P,用 P 的 17 条在内部不相交的对角线将 P 分割成 18 个三角形,所得图形成为 P 的一个三角形剖分图。对 P 的任意一个三角剖分图 T,P 的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为 T 的边,T 的任意 10 条两两无公共端点的
2、边的集合称为 T 的一个完美匹配。当 T 取遍 P 的所有三角 剖分图时,求 T 的完美匹配个数的最大值。 Q H P M I C A B MSC 1 2020 年年全国高中数学联合竞赛加试(全国高中数学联合竞赛加试(A A 卷)卷) 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明:说明: 1 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分 2 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分,参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次, 不得增加其他中间档次分为一个档次, 不得增加其他中间档次 一一(本题满分(本题满分 40 分)分)如图,在等腰ABC中,ABBC,I为内心,M 为BI的中点,P为边AC上一点,满足3APPC,PI延长线上一点H满足 MHPH,Q为ABC的外接圆上劣弧AB的中点证明:BHQH 证明证明: 取AC的中点N 由3APPC, 可知P为NC的中点 易知, ,B I N共 线,90INC 由I为A
3、BC的内心,可知CI经过点Q,且 QIBIBCICBABIACQABIABQQBI, 又M为BI的中点,所以QMBI进而|QMCN 10 分 考虑HMQ与HIB由于MHPH,故90HMQHMIHIB 又90IHMINP,故 HMNP HINI ,于是 11 22 HMNPNCMQMQ HININIMIIB 所以HMQHIB,得HQMHBI 30 分 从而,H M B Q四点共圆于是有90BHQBMQ,即BHQH 40 分 H P M I Q A BC H P N M I Q A BC 2 二二(本题满分(本题满分 40 分)分)给定整数3n设 122122 , nn a aab bb是4n个 非负实数,满足 122122 0 nn aaabbb, 且对任意1, 2, 2in, 有 21iiii aabb(这里 211222211 , nnn aa aa bb) 求 122n aaa的最小值 解解:记 122122nn Saaabbb 不失一般性,设 1321 2 n S Taaa 当3n时,因为 3 2 2121 1 3 kk k Taa 222 133551 1 ()()()0 2
4、aaaaaa, 故结合条件可知 233 2 2121212 11 33()3 4 kkkk kk S TaabbS 又0S,所以12S 当2(16) ii abi时,S取到最小值 12 10 分 当4n时,一方面有 2121212 11 () nn kkkk kk aabbS 另一方面,若n为偶数,则 2 212115233721 1 ()() 4 n kknn k T aaaaaaaa, 其中第一个不等式是因为 15233721 ()() nn aaaaaa展开后每一项 均非负,且包含 2121(1 ) kk aakn这些项,第二个不等式利用了基本不等式 20 分 若n为奇数,不妨设 13 aa,则 1 21212121213 11 nn kkkkn kk aaaaaa 2 15213723 ()() 4 nn T aaaaaa 从而总有 22 2121 1 416 n kk k TS Saa又0S,所以16S 30 分 当 123412 4,0(52 ),0,16,0(32 ) ii aaaaain bbbin时, S取到最小值 16 综上,当3n时,S的最小值为 12;当4n时,
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