245编号初中二次函数知识点汇总(史上最全)
31页1、第- 1 -页 共 31 页 二次函数知识点 一、基本概念: 1二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。 2 yaxbxcabc,0a 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零二次函数的定义域是0a bc, 全体实数 2. 二次函数的结构特征: 2 yaxbxc 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是 2xx 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项abc,abc 二、基本形式 1. 二次函数基本形式:的性质: 2 yax a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 的性质:(上加下减) 2 yaxc 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 00,轴y 时,随的增大而增大;时,0 x yx0 x y 随的增大而减小;时,有最小值x0 x y0 0a 向下 00,轴y 时,随的增大而减小;时,0 x yx0 x y 随的增大而增大;时,有最大值x0 x y0 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0c,轴y 时,随的增大而增大;时,0 x yx0 x y 随的增大而减小;时,有最小值x0 x
2、yc 0a 向下 0c,轴y 时,随的增大而减小;时,0 x yx0 x y 随的增大而增大;时,有最大值x0 x yc 第- 2 -页 共 31 页 3. 的性质:(左加右减) 2 ya xh 4. 的性质: 2 ya xhk 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法 1: 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标; 2 ya xhkhk, 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下: 2 yaxhk, 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减,hk 上加下减” 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0h, X=h 时,随的增大而增大;时,xhyxxhy 随的增大而减小;时,有最小值xxhy0 0a 向下 0h, X=h 时,随的增大而减小;时,xhyxxhy 随的增大而增大;时,有最大值xxhy0 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 hk, X=h 时,随的增大而增大;时,xhyxxhy 随的增大而减小;时,有最小值xxhyk 0a 向下 hk, X=h 时,随的增
3、大而减小;时,xhyxxhy 随的增大而增大;时,有最大值xxhyk 第- 3 -页 共 31 页 方法 2: 沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 (或)mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成cbxaxy 2 mcbxaxy 2 (或)cmxbmxay)()( 2 cmxbmxay)()( 2 四、二次函数与的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到 2 ya xhk 2 yaxbxc 前者,即,其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa , 五、二次函数图象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法 : 利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开 2 yaxbxc 2 ()ya xhk 口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点 为 : 顶点、 与轴的交点、 以及关于对称轴对称的点、 与 轴的交点,y0c,0c,2hc,x 1 0 x , (若与 轴没有交点,则取两组关于对称
4、轴对称的点). 2 0 x ,x 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 轴的交点,与轴的交点.xy 六、二次函数的性质 2 yaxbxc 1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa , 当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有 2 b x a yx 2 b x a yx 2 b x a y 最小值 2 4 4 acb a 2. 当时, 抛物线开口向下, 对称轴为, 顶点坐标为 当时,0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa , 2 b x a y 随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值x 2 b x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式:(,为常数,) ; 2 yaxbxcabc0a 2. 顶点式:(,为常数,) ; 2 ()ya xhkahk0a 3. 两根式:(,是抛物线与轴两交点的横坐标). 12 ()()ya xxxx0a 1 x 2 xx 第- 4 -页 共 31 页 注意 : 任何二次函数的解析式都可以化成一般
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