新教材高中数学必修第一册第5章 5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

1、第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦，了解它们的内在联系.2.掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换知识点一两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R两角和的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R思考利用cos()推导cos()的过程中，利用了什么方法？答案推导过程中，利用了角的代换的方法()知识点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S()sin()sin cos cos sin ，R两角差的正弦S()sin()sin cos cos sin ，R预习小测自我检验1cos 57cos 3sin 57sin 3 .答案解析原式cos(573)cos 60.2sin 45cos 15cos 225sin 15 .答案3若cos ，是第三象限的角，则sin .答案解析cos ，是第三象限的角，sin ，sinsin cos .4已知是锐角，sin ，则cos .答案解

2、析因为是锐角，sin ，所以cos ，所以coscos cos sin sin .一、给角求值例1计算：(1)cos 105；(2).解(1)cos 105cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45.(2)sin 30.反思感悟解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式跟踪训练1计算：(1)sin 14cos 16sin 76cos 74；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)解(1)原式sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16cos 14sin 16sin(1416)sin 30.(2)原式sin(54x)(36x)sin 901.二、给值求值例2已知，cos()，sin()，求cos 2的值解，.0，.sin()，cos().cos 2cos

3、()()cos()cos()sin()sin()，即cos 2.延伸探究1若本例的条件不变，求sin 2的值解由本例解析知sin 2sin()()sin()cos()cos()sin().2若本例条件变为：，sin()，sin()，求sin 2的值解因为，所以0，.所以cos()，cos()，所以sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()0.反思感悟给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”跟踪训练2已知sin()，sin()，求的值解sin()，sin cos cos sin .sin()，sin cos cos sin .由，解得sin cos ，cos sin ，5.三、给值求角例3已知cos ，sin()，0，0，求角的值解因为0，cos ，所以sin .又因为0，所以0.因为sin()sin ，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin .又因为0，所以

4、.延伸探究若把本例中的“0”改为“”，求角的值解因为0，cos ，所以sin .又因为，所以.因为sin()，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin .又因为，所以.反思感悟解决给值(式)求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，)或(，2)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值跟踪训练3已知，均为锐角，且sin ，cos ，求的值解因为，均为锐角，且sin ，cos ，所以cos ，sin .所以sin()sin cos cos sin .又因为，均为锐角，所以.故.1sin 20cos 10cos 160sin 10等于()A B. C D.答案D解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.2若cos ，是第三象限的角，则sin等于()A B. C D.答案A3已知cos(为锐角)，则sin 等于()A. B. C. D.考点两角和与差的正弦公式题点利用和与差的正弦公式求值答案D解

5、析因为，所以.所以sin.所以sin sinsincos cossin .4已知sin cos 1，cos sin 0，则sin() .答案解析sin cos 1，cos sin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，两式相加可得sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1，sin().5已知锐角，满足sin ，cos ，则 .答案解析，为锐角，sin ，cos ，cos ，sin .cos()cos cos sin sin .又0，.1知识清单：(1)公式的推导；(2)给角求值、给值求值、给值求角；(3)公式的正用、逆用、变形用2方法归纳：公式的构造，角的构造3常见误区：求值或求角时忽视角的范围1化简cos(xy)sin ysin(xy)cos y等于()Asin(x2y) Bsin(x2y)Csin x Dsin x答案D解析cos(xy)sin ysin(xy)cos ysiny(xy)sin x.2sin 40cos 10sin 130sin 10等于()A B. C D.答案D解析sin 40cos 10s

6、in 130sin 10cos 50cos 10sin 50sin 10cos(5010)cos 60，故选D.3化简sinsin等于()Asin x Bsin x Ccos x Dcos x答案B解析sinsinsin xcos xsin xcos xsin x.4在ABC中，若sin(BC)2sin Bcos C，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形答案D解析因为sin(BC)2sin Bcos C，所以sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin C0，所以sin(BC)0，所以BC.所以ABC是等腰三角形5已知cos ，cos()，且0，那么等于()A. B. C. D.答案C解析0，0，由cos 得sin ，由cos()得sin()，sin sin()sin cos()cos sin()，.6sin 105的值为 答案解析sin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60.7已知sin cos ，cos sin ，则sin() .答案解析由sin cos 两边平方得sin22sin cos cos2，由cos sin 两边平方得cos22cos sin sin2，得(sin2cos2)2(sin cos cos sin )(cos2sin2)，12sin()1.sin().8已知cos，则cos .答案解析由于0，cos，所以sin.所以cos coscoscos sinsin .9已知sin()cos cos()sin ，是第三象限角，求sin的值解sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin sin()sin

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