（新教材）高中数学必修第一册第4章 4.5.1函数的零点与方程的解

1、,4.5.1函数的零点与方程的解,第四章4.5函数的应用(二),学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系. 2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,知识梳理,题型探究,随堂演练,1,知识梳理,PART ONE,知识点一函数的零点,对于函数yf(x)，我们把使 的实数x叫做函数yf(x)的 . 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)0 函数yf(x) 函数yf(x)的图象与 有交点.,f(x)0,零点,有实数解,有零点,x轴,思考(1)函数的“零点”是一个点吗？,答案不是；,(2)函数yx2有零点吗？,答案有零点，零点为0.,知识点二函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点,方程f(x)0的实数解函数yf(x)的 函数yf(x)的图象与x轴的交点的 .,零点,横坐标,思考函数f(x)ax2x2有一个零点是1，这个函数还有其他零点吗？,答案f(x)ax2x2有一个零点是1，即a12120，a1， f(x)x2x2，令x2x20，得x1或x2，

2、这个函数还有一个零点为2.,知识点三函数零点存在定理,如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条 的曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内 ，即存在c(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)0的解.,连续不断,f(a)f(b)0,至少有一个零点,f(c)0,思考辨析 判断正误,SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU,1.函数f(x)3x2的零点为 .() 2.若f(a)f(b)0，则f(x)在a，b内无零点.() 3.若f(x)在a，b上为单调函数，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.() 4.若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)f(b)0.(),2,题型探究,PART TWO,一、求函数的零点,A.(1,0) B.1 C.1 D.0,(2)函数f(x)(lg x)2lg x的零点为_.,1和10,解析由(lg x)2lg x0，得lg x(lg x1)0， lg x0或lg x1， x1或x10.,反思感悟,函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的

3、横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.,解析当x1时，令2x10，得x0.,综上所述，函数零点为0.,(2)若函数f(x)axb(b0)有一个零点3，则函数g(x)bx23ax的零点是_.,1和0,解析因为f(x)axb的零点是3， 所以f(3)0， 即3ab0，即b3a. 所以g(x)bx23axbx2bxbx(x1)， 所以方程g(x)0的两个根为1和0， 即函数g(x)的零点为1和0.,二、探求零点所在区间,例2(1)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为,又函数f(x)在定义域上单调递增，,解析因为f(3)60，f(1)40， 所以在区间(2,4)内必有实数根，故选A.,(2)二次函数f(x)ax2bxc的部分对应值如下表：,不求a，b，c的值，判断方程ax2bxc0的两根所在的区间是 A.(3，1)，(2,4) B.(3，1)，(1,1) C.(1,1)，(1,2) D.(，3)，(4，),反思感悟,判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论，此类

4、问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断.,A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e，),解析由题意知，f(x)在定义域(0，)上单调递增， f(1)20，f(2)ln 210， 在(1,2)内f(x)无零点；,f(2)f(3)0， f(x)在(2,3)内有零点， 同理可知f(x)在(3,4)内，(e，)内均无零点.,三、判断函数零点个数,A.3 B.2 C.1 D.0,解析当x0时， 由f(x)x22x30得x13，x21(舍去)； 当x0时，由f(x)2ln x0得xe2. 函数的零点个数为2.,(2)判断函数f(x)ln xx23的零点的个数.,解方法一函数对应的方程为ln xx230， 所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数. 在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图). 由图象知， 函数y3x2与yln x的图象在x(0，)只有一个交点， 从而ln xx230有一个根， 即函数f(x)ln xx23有一个零点. 方法二由于f(1)ln 112320，f(1)f(2)0， 又f(x)ln xx23的图象在(1,2)

5、上是不间断的，f(x)在(1,2)上必有零点， 又f(x)在(0，)上是单调递增的，零点只有一个.,反思感悟,判断函数存在零点的3种方法 (1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数. (2)图象法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数. (3)定理法：函数yf(x)的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)0即可判断函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点.若函数yf(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点.,跟踪训练3求函数f(x)2xlg(x1)2零点的个数.,解方法一f(0)10210， 又f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为单调增函数， f(x)在(0,1)上必定存在零点. 故函数f(x)有且只有一个零点. 方法二在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图. 由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有

6、一个交点， 即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点.,典例函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点，求实数a的取值范围.,根据零点情况求参数范围,核心素养之直观想象,HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG,解由f(x)0得a12|x|x2， 因为函数f(x)x22|x|a1有四个不同的零点， 所以函数ya1与y2|x|x2的图象有四个交点， 画出函数y2|x|x2的图象，如图所示， 观察图象可知，0a11，所以1a2.,素养提升,函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，也可转化成两函数交点的横坐标，这样就建立了数与形的联系，利用函数图象描述问题，充分体现直观想象的数学核心素养.,3,随堂演练,PART THREE,1,2,3,4,5,1.函数yln x的零点是 A.(0,0) B.0 C.1 D.不存在,1,2,3,4,5,2.下列各图象表示的函数中没有零点的是,1,3,4,5,2,1,3,4,5,2,1,解当a0时，函数为yx1，显然该函数的图象与x轴只有一个交点， 即函数只有一个零点. 当a0时，函数yax2x1为二次函数. 因为函数yax2x1只有一个零点， 所以方程ax2x10有两个相等的实根.,1,3,4,5,2,5.若函数yax2x1只有一个零点，求实数a的值.,课堂小结,KE TANG XIAO JIE,1.知识清单： (1)函数的零点定义. (2)函数零点存在定理. 2.方法归纳： (1)转化法：函数的零点转化为方程的根还可转化为函数图象与x轴的交点. (2)数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题. 3.常见误区：零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标.,本课结束,

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