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通关答案-福建师范大学2020年8月课程考试《常微分方程》作业考核试题78678768

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1、常微分方程期末考试A卷（完整答案附后）姓名：专业：学号：学习中心：$一、填空题（每个空格4分，共40分）1、是阶微分方程，是方程（填“线性”或“非线性” ）。2、给定微分方程，它的通解是，通过点（2，3）的特解是。3、微分方程为恰当微分方程的充要条件是。4、方程的通解为，满足初始条件的特解为。5、微分方程的通解为。6、微分方程的通解为，该方程可化为一阶线性微分方程组。二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。1、； 2、；3、；4、 .三、（8分）考虑方程假设及在xOy平面上连续，试证明：对于任意及，方程满足的解都在上存在。四、（10分）设，求解方程组满足初始条件的解。五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。证明：见书。温馨提示：复制下一页的答案到你的原卷。答案见下一页常微分方程期末考试A卷姓名：专业：学号：学习中心：$一、填空题（每个空格4分，共40分）1、是 2 阶微分方程，是线性方程（填“线性”或“非线性” ）。2、给定微分方程，它的通解是，通过点（2，3）的特解是。3、

2、微分方程为恰当微分方程的充要条件是。4、方程的通解为，满足初始条件的特解为。5、微分方程的通解为。6、微分方程的通解为，该方程可化为一阶线性微分方程组。二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。1、；解：2、；解：由原式变形得：.两边同时积分得：.即上式为原方程的解。3、；解：这里特征根方程为：，有两个特征根，因此它对应的齐次方程的通解为：.考虑原方程，它的一个特解为： .根据解的结构基本定理，原方程的通解为：.4、 .解：方程组的特征方程为即，即特征根为，对应特征向量应满足，可得同样可算出时，对应特征向量为原方程组的通解为三、（8分）考虑方程假设及在xOy平面上连续，试证明：对于任意及，方程满足的解都在上存在。解：证明：根据题设，可以证明方程右端函数在整个xOy平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，为方程在(-,+)上的解.由延展定理可知足，任意，的解上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，又不能穿过直线，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-,+)上存在。四、（10分）设，求解方程组满足初始条件的解。解：det（EA）=(+1)2(3)0. 1（二重），3.对应的特征向量为u1，u2. . 解得. .五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。证明：见书。一阶微分方程（1）其中是在矩形域上的连续函数。定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则函数称为在上关于满足Lipschitz条件。定理1 如果在上连续且关于满足Lipschitz条件，则方程(1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，这里，。注：更多福师大作业关注威信：weimingjiaxc 常微分方程试卷共2页（第 3 页）答案务必写在对应的作答区域内，否则不得分，超出黑色边框区域的答案无效！

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