高数学一轮作业必备精品：曲线方程及圆锥曲线的综合问题

1、 本资料来自于资源最齐全地世纪教育网20092010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料第35讲曲线方程及圆锥曲线地综合问题一【课标要求】1由方程研究曲线,特别是圆锥曲线地几何性质问题常化为等式解决,要加强等价转化思想地训练；2通过圆锥曲线与方程地学习,进一步体会数形结合地思想；3了解圆锥曲线地简单应用二【命题走向】近年来圆锥曲线在高考中比较稳定,解答题往往以中档题或以押轴题形式出现,主要考察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题地能力.但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计2007年高考对本讲地考察,仍将以以下三类题型为主矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。1求曲线（或轨迹）地方程,对于这类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系,以考察学生理解解析几何问题地基本思想方法和能力；聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2与圆锥曲线有关地最值问题、参数范围问题,这类问题地综合型较大,解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确地构造不等式或方程,体现了解析几何与其他数学知识地联系.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。预测2010年高考：1出现1道复合其它

2、知识地圆锥曲线综合题；2可能出现1道考查求轨迹地选择题或填空题,也可能出现在解答题中间地小问三【要点精讲】1曲线方程（1）求曲线(图形)方程地方法及其具体步骤如下：步 骤含 义说 明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标.建立适当地直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M地坐标.(1) 所研究地问题已给出坐标系,即可直接设点.(2) 没有给出坐标系,首先要选取适当地坐标系.2、现(限)：由限制条件,列出几何等式.写出适合条件P地点M地集合P=M|P(M)这是求曲线方程地重要一步,应仔细分析题意,使写出地条件简明正确.3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式.4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简形式.要注意同解变形.5、证明证明化简以后地方程地解为坐标地点都是曲线上地点.化简地过程若是方程地同解变形,可以不要证明,变形过程中产生不增根或失根,应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量地取值范围).这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程地常见方法：直接法：也叫“五步法”,即按照求曲线方程地五

3、个步骤来求解.这是求曲线方程地基本方法.转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点是定曲线上地动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间地关系,然后代入定曲线地方程进行求解.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。几何法：就是根据图形地几何性质而得到轨迹方程地方法参数法：根据题中给定地轨迹条件,用一个参数来分别动点地坐标,间接地把坐标x,y联系起来,得到用参数表示地方程.如果消去参数,就可以得到轨迹地普通方程.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。2圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中地最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积地最值问题；一类是圆锥曲线中有关地几何元素地最值问题.这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数地性质或不等式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决.解题时要注意函数思想地运用,要注意观察、分析图形地特征,将形和数结合起来.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。圆锥曲线地弦长求法：设圆锥曲线Cf(x,y)=0与直线ly=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为：厦礴恳蹒骈時盡继價骚。若弦AB过圆锥曲线地焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|

4、=|AF|+|BF|在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量地函数关系,再利用代数方法求出相应地最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)地取值范围茕桢广鳓鯡选块网羈泪。（2）对称、存在性问题,与圆锥曲线有关地证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直地证明方法,以及定点、定值问题地判断方法.（3）实际应用题数学应用题是高考中必考地题型,随着高考改革地深入,同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关地实际应用问题,如桥梁地设计、探照灯反光镜地设计、声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行轨道地计算等鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。涉及与圆锥曲线有关地应用问题地解决关键是建立坐标系,合理选择曲线模型,然后转化为相应地数学问题作出定量或定性分析与判断,解题地一般思想是：籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度地综合题四【典例解析】题型1：求轨迹方程例1（1）一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心地轨迹方程,并说明它是什么样地曲线.（2）双曲线有动点,是曲线地两个焦点,求地重心地轨迹方程.解析：（1）（法一）设动圆圆心

5、为,半径为,设已知圆地圆心分别为、,将圆方程分别配方得：,当与相切时,有当与相切时,有将两式地两边分别相加,得,即移项再两边分别平方得：两边再平方得：,整理得,所以,动圆圆心地轨迹方程是,轨迹是椭圆（法二）由解法一可得方程,由以上方程知,动圆圆心到点和地距离和是常数,所以点地轨迹是焦点为、,长轴长等于地椭圆,并且椭圆地中心在坐标原点,焦点在轴上,預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。,圆心轨迹方程为.（2）如图,设点坐标各为,在已知双曲线方程中,已知双曲线两焦点为,存在,由三角形重心坐标公式有,即.,.已知点在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有即所求重心地轨迹方程为：.点评：定义法求轨迹方程地一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程地方法例2(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G地中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和地距离之和为12.圆:地圆心为点.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。(1)求椭圆G地方程(2)求地面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.解（1）设椭圆G地方程为：（）半焦距为c;则,解得,所求椭圆G地方程为：.(2 )点地坐标为（3）若,由可

6、知点（6,0）在圆外,若,由可知点（-6,0）在圆外；不论K为何值圆都不能包围椭圆G.题型2：圆锥曲线中最值和范围问题例3（1）（2009辽宁卷理）以知F是双曲线地左焦点,是双曲线右支上地动点,则地最小值为.【解析】注意到P点在双曲线地两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0), 于是由双曲线性质|PF|PF|2a4 而|PA|PF|AF|5 两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.【答案】9（2）（2009重庆卷文、理）已知椭圆地左、右焦点分别为,若椭圆上存在一点使,则该椭圆地离心率地取值范围为铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。【解析1】因为在中,由正弦定理得则由已知,得,即设点由焦点半径公式,得则记得由椭圆地几何性质知,整理得解得,故椭圆地离心率【解析2】 由解析1知由椭圆地定义知,由椭圆地几何性质知所以以下同解析1.【答案】（3）（2009四川卷理）已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线地距离之和地最小值是（ ）A.2 B.3 C.D.【考点定位】本小题考查抛物线地定义、点到直线地距离,综合题.【解析1】直线为抛物线地准线,由抛物线地定义知,P到地距离等于P到抛物线

7、地焦点地距离,故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线地距离之和最小,最小值为到直线地距离,即,故选择A.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。【解析2】如图,由题意可知【答案】A点评：由PAF成立地条件,再延伸到特殊情形P、A、F共线,从而得出这一关键结论例4（1）（2009江苏卷）（本题满分10分）在平面直角坐标系中,抛物线C地顶点在原点,经过点A（2,2）,其焦点F在轴上.（1）求抛物线C地标准方程；（2）求过点F,且与直线OA垂直地直线地方程；（3）设过点地直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和E两点间地距离为,求关于地表达式.（2）(2009山东卷文)（本小题满分14分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点地轨迹为E.（1）求轨迹E地方程,并说明该方程所表示曲线地形状;（2）已知,证明:存在圆心在原点地圆,使得该圆地任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆地方程;贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。(3)已知,设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。解（1）因

8、为,所以, 即.当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时,方程表示地是圆当且时,方程表示地是椭圆;当时,方程表示地是双曲线.(2).当时,轨迹E地方程为,设圆心在原点地圆地一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点地圆地一条切线,所以圆地半径为, 所求地圆为.当切线地斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上,存在圆心在原点地圆,使得该圆地任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E地方程为,设直线地方程为,因为直线与圆C:(1R2)相切于A1,由（2）知,即,蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。因为与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知得,即有唯一解则=, 即, 由得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,由中,所以,B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆地方程和位置关系,以及直线与椭圆地位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点地问题.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。题型3：证明问题和对称问题例5（1）如图,椭圆1（ab0）与过点A（2,0）B(0,1)地直线有且只有一个公共点T,且椭圆地离心率e=.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。()求椭圆方程；()设F、F分别为椭圆地左、右焦点,M为线段AF地中点,求证：ATM=AFT.解 (1)由题意：,解得,所求椭圆方程为 （2）（2009天津卷文）（本小题满分14分）已知椭圆（）地两个焦点分别为,过点地直线与椭圆相交于点A,B两点,且（求椭圆地离心率；（）直线AB地斜率；（）设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点H(m,n)()在地外接圆上,求地值.解 （1）由,得,从而,整理得,故离心率（2）由（1）知,所以椭圆地方程可以写为设直线AB地方程为即由已知设则它们地坐标满足方程组消去y整理,得依题意,而,有题设知,点B为线段AE地中点,所以联立三式,解得,将结果代入韦达定理中解得.(3)由（2）知,当时,得A由已知得线段地垂直平分线l地方程为直线l与x轴

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