数学建模微分方程模型ppt课件
42页1、微分方程模型,2 如何预报人口的增长 3 如何施救药物中毒,4 人口预测和控制模型,1 目标跟踪问题,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程.,分析对象特征的变化规律.,预报对象特征的未来性态.,研究控制对象特征的手段.,根据函数及其变化率之间的关系确定函数.,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设.,按照内在规律或用类比法建立微分方程.,1 目标跟踪问题,设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹,导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶,导弹的速度是5v0,求导弹运行的曲线方程乙舰行驶多远时,导弹将它击中?,由(1),(2)消去t, 整理得模型:,解法二(数值解法),1建立M文件eq1m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);,2 取x0=0,xf=09999,建立主程序如下: x0=0,xf=09999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b) h
2、old on y=0:001:2; plot(1,y,b*),结论: 导弹大致在(1,02)处击中乙舰.,令y1=y, y2=y1,将方程(3)化为一阶微分方程组,结果见图,导弹大致在(1,02)处击中乙舰,与前面的结论一致,返 回,结论:时刻t=021时,导弹在(1,021)处击中乙舰,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,2 如何预报人口的增长,做出较准确的预报,建立人口数学模型,指数增长模型马尔塞斯1798年提出,常用的计算公式,x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加,人口按指数规律无限增长.,与常用公式的一致,?,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.,可用于短期人口增长预测.,不符合19世纪后多数地区人口增长规律.,不能预测较长期的人口增长过程.,19世纪后人口数据,阻滞增长模型Logistic 模型,人口增长到一定数量后,增长率下降的原因:,资源、环境等因素对人口增长的阻
3、滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量(资源、环境能容纳的最大数量),x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),指数增长模型,Logistic 模型的应用,经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量).,种群数量模型 (鱼塘中的鱼群, 森林中的树木).,S形曲线,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报, 必须先估计模型参数 r 或 r, xm .,模型的参数估计、检验和预报,指数增长模型,阻滞增长模型,由统计数据用线性最小二乘法作参数估计,例:美国人口数据(百万),r =0.2022/10年,x0 =6.0450,模型的参数估计、检验和预报,指数增长模型,阻滞增长模型,r=0.2557/10年,xm =392.0886,指数增长模型,阻滞增长模型,用模型计算2000年美国人口,误差约2.5%,与实际数据比较(2000年281.4),=274.5,模型的参数估计、检验和预报,为作模型检验在参数估计时未用2000年实际数据,加入2000年数据重估模型参数,预报美国2010年人口,美国人口普查局2010年12月21日公布:截止到
4、2010年4月1日美国总人口为3.087亿.,预报误差不到1%!,场景,3 如何施救药物中毒,两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.,诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片,已出现呕吐、头晕等不良症状.,按照药品使用说明书,氨茶碱的每次用量成人是100200mg ,儿童是35 mg/kg.,过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高,100g/ml浓度会出现严重中毒, 200g/ml浓度可致命.,医生需要判断:孩子的血药浓度会不会达到100200 g/ml;如果会达到,应采取怎样的紧急施救方案.,调查与分析,转移率正比于x,排除率正比于y,认为血液系统内药物的分布,即血药浓度是均匀的,可以将血液系统看作一个房室,建立“一室模型” .,药量x(t),药量y(t),血液系统对药物的吸收率 (胃肠道到血液系统的转移率) 和排除率可以由半衰期确定.,半衰期可以从药品说明书上查到.,通常,血液总量约为人体体重的7 % 8%,体重5060 kg的成年人有4000ml左右的血液.,目测这个孩子的体重约为成年人的一半,可认为其血液总量约为2000ml.,调查与分
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