【课件-高等数学】_第四节 微分中值定理
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1、第三章 一元函数的导数、微分及其应用,第一节 导数的概念 第二节 导数的运算 第三节 微分的概念与应用 第四节 微分中值定理 第五节 导数的应用,2020年8月11日星期二,2,定理1、罗尔( Rolle )定理,定理2、拉格朗日中值定理,第四节,微分中值定理,定理3、柯西(Cauchy)中值定理,3,费马(fermat)引理（补充）,定理1、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,4,定理1、罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,证:,故在 a , b 上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 则,因此,5,若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,则由费马引理得,6,定理2、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在 a , b 上连续 ,
2、在 ( a , b ) 内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,7,例1. 设函数,在区间 上是否满足,拉格朗日中值定理的条件？若满足，求适合定理的,值.,解. 因为,是初等函数，在区间,上连续，且在开区间,内可导，且,所以函数,在区间 上满足拉格朗日,中值定理的条件. 由拉格朗日中值定理得,即,解得,8,例2.,若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证: 在 I 上任取两点,日中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上为常数 .,9,定理3、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,要证,10,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,11,例3. 设,至少存在一点,使,证: 结论可变形为,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,证明,12,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉
3、格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,费马引理,13,思考与练习,1. 填空题,1) 函数,在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理,条件, 则中值,2) 设,有,个根 , 它们分别在区间,上.,方程,14,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,直到1995年才得到完整证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,15,拉格朗日 (1736 1813),法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,16,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,
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