数据分析与建模 实验报告 实验五 动态模型的建模分析

1、学生学号实验课成绩学 生 实 验 报 告 书实验课程名称数据分析与建模开 课 学 院管理学院指导教师姓名鄢 丹学 生 姓 名学生专业班级2018 2019 学年 第 1 学期 实验报告填写说明1 综合性、设计性实验必须填写实验报告，验证、演示性实验可不写实验报告。2 实验报告书必须按统一格式制作（实验中心网站有下载）。3 老师在指导学生实验时，必须按实验大纲的要求，逐项完成各项实验；实验报告书中的实验课程名称和实验项目必须与实验指导书一致。4 每项实验依据其实验内容的多少，可安排在一个或多个时间段内完成，但每项实验只须填写一份实验报告。5 每份实验报告教师都应该有签名、评分表及实验报告成绩。6 教师应及时评阅学生的实验报告并给出各实验项目成绩，完整保存实验报告。在完成所有实验项目后，教师应按学生姓名将批改好的各实验项目实验报告装订成册，构成该实验课程总报告，按班级交到实验中心，每个班级实验报告袋中附带一份实验指导书及班级实验课程成绩表。7 实验报告封面信息需填写完整，并给出实验环节的成绩，实验环节成绩按其类型采取百分制或优、良、中、及格和不及格五级评定（与课程总成绩一致），并记入课程总

2、成绩中。1实验课程名称：_ 数据分析与建模_ 实验项目名称实验五 动态模型的建模分析实验成绩实 验 者专业班级组 别无同 组 者无实验日期2018年10月18日第一部分：实验预习报告（包括实验目的、意义，实验基本原理与方法，主要仪器设备及耗材，实验方案与技术路线等）一、实验目的、意义本实验旨在通过资料查阅和上机实验，使学生熟悉和掌握动态模型的分析方法和理论，掌握数据分析工具Mathematica，能够绘制特殊图形，培养和提高数据分析的能力。二、实验基本原理与方法动态模型的分析方法，数据分析工具Mathematica的使用方法，以及帮助指南文档等。利用Mathematica绘图。三、实验内容及要求1、动态模型的建模分析，写出求解过程及分析结论。（1）求解微分方程y-xy=3x（2）求微分方程x2y-2xy+2y=3x满足条件y(1)=0，y(1)=1的特解。（3）求微分方程组的通解。（4）求函数f(x)=x3-4x+3在区间-2，2的极值。（5）已知一组数据(-1,2)，(0,2.5)，(1,3)，(2,4)，(3,4.5)，(4,5.5)，求已知数据的拟合函数。（6）应用Mathema

3、tica求解传染病模型，模型（指数模型）的通解与特解，并绘图。（7）应用Mathematica求解传染病模型，模型（阻滞模型，SI模型），的通解与特解，并绘图（三种形状： S形状，正态形状，钟形）。（8）应用Mathematica求解传染病模型，模型（SIS模型），的通解与特解。（9）课程第7讲中的问题。在一片没有管理的林区，硬材树与软材树竞争可用的土地和水分。越可用的硬材树生长得越慢。软材树靠生长快、有效消耗水分和土壤养分与硬材树竞争。硬材树靠生长的高度与软材树竞争，它们遮挡了小树的阳光，也更抗疾病。这两种树能否同时在一片林区中无限期地共存，或者一种树是否会迫使另一种树灭绝？应用Mathematica求解以下方程。分析问题。 2、写出简短程序，绘制特殊图形（1）在Mathematica中绘制如下的星空图。（2）在Mathematica中绘制心形图。提示：心形曲线的方程为，r=a(1sin)（3）在Mathematica中绘制三叶草或四叶草的图形。（4）在Mathematica中绘制瓶子或罐子。（5）在Mathematica中绘制海螺。（6）在Mathematica中绘制魔方。（7）在

4、Mathematica中绘制漫画人形图。（8）绘制其它任何，你觉得有意思的图形，现实存在的，或幻想的，或未来的图形。四、实验方案或技术路线（只针对综合型和设计型实验）按照实验任务要求，理论结合实际的实验方案，巩固课程内容，温故知新，查遗补漏，夯实理论基础，提升实验动手能力。技术路线是，从整体规划，分步骤实施，实验全面总结。第二部分：实验过程记录（可加页）（包括实验原始数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）1、动态模型的建模分析，写出求解过程及分析结论。（1）求解微分方程y xy = 3xMathematica 中求解微分方程通解的命令：DSolve微分方程或方程组, 未知函数, 自变量具体的运行结果如下图所示：图1 求解微分方程y xy = 3x（2）求微分方程x2y-2xy+2y=3x满足条件y(1)=0，y(1)=1的特解。Mathematica 中求解微分方程特解的命令：DSolve微分方程或方程组, 初始条件, 未知函数，自变量具体的运行结果如下图所示：图2 求微分方程x2y-2xy+2y=3x满足条件y(1)=0，y(1)=1的特解（3）求微分方程组的通解。Mathe

5、matica 中求解微分方程通解的命令：DSolve微分方程或方程组, 未知函数, 自变量具体的运行结果如下图所示：图3 求微分方程组的通解（4）求函数f(x) = x3 - 4x + 3在区间-2，2的极值。首先绘出函数f(x) = x3 - 4x + 3的图形，如下图所示：一元函数作图的命令：Plot函数, 作图范围, 可选项图4 函数f(x) = x3 - 4x + 3的图形通过观察可以发现，函数f(x) = x3 - 4x + 3在 x=1 附近有极小值，在 x= -1 附近有极大值。求函数的极小值近似值的命令：FindMinimum函数, 自变量, 初始值求函数的极大值近似值的命令：FindMaximum 函数, 自变量, 初始值 或 对- fx求极小值。最后得到：极小值 - 0.0792014 和极小值点1.1547；极大值 - 6.0792和极大值点 -1.1547具体运行结果如下图所示：图5 求函数f(x) = x3 - 4x + 3的极值点（5）已知一组数据(-1,2)，(0,2.5)，(1,3)，(2,4)，(3,4.5)，(4,5.5)，求已知数据的拟合函数。由一

6、组数据求函数的近似解析式，就是数据拟合问题。求已知数据的拟合函数的命令：Fit数据表, 基本函数组, 自变量或自变量组具体运行结果如下图所示：图6 求函数的近似解析式为了检验拟合的程度，可以画出数据的散点图以及拟合的函数图像进行比较。绘制散点图的命令：ListPlot点列, 可选项图7 绘制散点图对求得的函数的近似解析式f1, f2分别单独绘图。一元函数作图的命令：Plot函数1, 函数2,作图范围, 可选项得到f1, f2的图形如下图所示：图8 函数解析式f1的图形图9 函数解析式f2的图形将多个函数的图像画在同一坐标系中：Show图形变量组, 可选项图10 函数解析式f1的拟合情况图11 函数解析式f2的拟合情况从图中可见，两次的拟合程度都比较理想。第二次比第一次的拟合程度高，但从简单实用的角度，可以选择第一个拟合函数。如需要更精确，只要增加基本函数组的幂次即可。基本函数组包括幂函数、正弦函数、对数函数等（6）应用Mathematica求解传染病模型，模型（指数模型）的通解与特解，并绘图。Mathematica 中求解微分方程通解的命令：DSolve微分方程或方程组, 未知函数,

7、自变量Mathematica 中求解微分方程特解的命令：DSolve微分方程或方程组, 初始条件, 未知函数, 自变量具体运行结果如下图所示：图12 求传染病模型中模型I的通解与特解一元函数作图的命令：Plot函数, 作图范围, 可选项不妨假设x0 = 1, k = 1, 绘出的图形如下图所示：（其中y = e x用Expx格式表示）图13 传染病模型中模型I的图形（7）应用Mathematica求解传染病模型，模型（阻滞模型，SI模型），的通解与特解，并绘图（三种形状： S形状，正态形状，钟形）。Mathematica 中求解微分方程通解的命令：DSolve微分方程或方程组, 未知函数, 自变量Mathematica 中求解微分方程特解的命令：DSolve微分方程或方程组, 初始条件, 未知函数, 自变量具体运行结果如下图所示：图14 求传染病模型中模型II的通解与特解一元函数作图的命令：Plot函数, 作图范围, 可选项不妨假设n = 10000, x0 = 1, k = 1, 绘出相关图形如下图所示：图15 传染病模型中模型II的图形：x - t由上图可知，x t曲线为S形。图1

8、6 传染病模型中模型II的图形：dx/dt - t由上图可知，dx/dt t曲线为正态形状。图17 传染病模型中模型II的图形：dx/dt - x由上图可知，dx/dt x曲线为钟形。（8）应用Mathematica求解传染病模型，模型（SIS模型），的通解与特解。Mathematica 中求解微分方程通解的命令：DSolve微分方程或方程组, 未知函数, 自变量Mathematica 中求解微分方程特解的命令：DSolve微分方程或方程组, 初始条件, 未知函数, 自变量具体运行结果如下图所示：图18求传染病模型中模型III的通解与特解（9）应用Mathematica求解以下方程：求解方程组的命令：Solve方程1, 方程2, , 未知数1, 未知数2, 图19 应用Mathematica求解方程组由方程组的解可知，这两种树不能同时在一片林区中无限期地共存。2、写出简短程序，绘制特殊图形（1）在Mathematica中绘制如下的星空图。在Mathematica中输入以下代码便可得到星空图，代码及图形如下图所示：（其中涉及到使用伪随机实数以及使用表格Table来存储等相关知识点）图20 在Mathematica中绘制星空图（2）在Mathematica中绘制心形图。提示：心形曲线的方程为，r = a(1sin)极坐标式函数作图的命令：PolarPlot极坐标函数, 变量范围, 可选项根据题目提示的心形曲线方程，绘出的图形如下图所示：图21 在Mathematica中绘制心形图：r = a(1sin)除此之外，我还采用了另一种心形曲线，绘出的图形如下图所示：图22 在Mathematica中绘制其他的心形图（3）在Mathematica中绘制三叶草或四叶草的图形。极坐标式函数作图的命令：PolarPlot极坐标函数, 变量范围, 可选项参数方程作图的命令：ParametricPlot参数方程, 参数范围, 可选项本题可以使用极坐标方程和参数方程分别绘制三叶草的图像。具体代码如下：极坐标方程绘图：Po

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