第二节随机变量的方差和标准差课件
10页第二节、随机变量的方差和标准差,一、随机变量的方差和标准差的 概念和性质,1、方差和标准差的定义XEX表示随机变量 X 对数学期 望 EX 的离差;为避免离差符号的影响,人们常使用X 对数 学期望 EX 的平方离差,它显然也是随机变量;称,的数学期望,为随机变量X的方差,称 为随机变量X的标准差,2、方差的性质,(1) DX0,并且DX0当且仅当X(以概率)为常数;,(2) 对于任意实数,有 ;,(3) 若随机变量X1 , X2 , Xm两两独立,则,(4) 对于任意常数C,有,例4.9 设随机变量X的概率密度为,(1) 求随机变量Y = 1/X的数学期望EY; (2) 求随机变量X的数学期望EX和方差DX,解 (1) 随机变量Y = 1/X的数学期望:,(2) 随机变量X的数学期望:,例4.10 设随机变量X和Y相互独立,证明,若DX,DY 存在,则DXYDXDY,证明 事实上,有,其中,二、切贝绍夫不等式,设随机变量X的数学期望和方差都存在,则对于任意0, 事件|XEX|的概率有如下估计式切贝绍夫不等式:,证明 (1) 设X是非负离散型随机变量,其一切可能值为Xi, 则对于任意0,有,其中前两个和式表示对于满足| xi EX|的X 的一切可能 值xi求和,后一个和式表示对于X 的一切可能值xi求和,(2) 设X 是连续型随机变量,其概率密度为f (x),则,例4.11 设随机变量X的数学期望为,方差为 ,则由切,贝绍夫不等式,有,然而,假如,则利用附表1,可得,例4.12 对于任意非负随机变量X和0任意,证明不等式,证明 (1) 设X是离散型随机变量,其一切可能值为xi, 则,(2) 设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),则,
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