1981-2019年全国高中数学联赛50套真题分类汇编《数论部分》含详细答案
27页1、801981年2019年全国高中数学联赛二试试题分类汇编数论部分2019A 5、在 中随机选出一个数,在 中随机选出一个数,则被整除的概率为 答案: 解析:首先数组有 种等概率的选法 考虑其中使被整除的选法数N若被 3 整除,则也被 3 整除此时各有3种选法,这样的有 组若不被 3 整除,则,从而此时有7 种选法,有4种选法,这样的有组 因此于是所求概率为。2019A三、(本题满分 50 分)设为整数,整数数列满足:不全为零,且对任意正整数,均有证明:若存在整数, ( )使得,则解析:证明:不妨设互素(否则,若,则互素,并且用代替,条件与结论均不改变) 由数列递推关系知 以下证明:对任意整数,有 10 分 事实上,当时显然成立假设时成立(其中为某个大于2的整数),注意到,有,结合归纳假设知,即时也成立因此对任意整数均成立 20 分 注意,当时,对也成立 设整数, ( ),满足若,由对均成立,可知即,即 若,则故此时由于对均成立,故类似可知仍成立 30 分 我们证明互素 事实上,假如与存在一个公共素因子 ,则由得为的公因子,而互素,故,这与矛盾 因此,由得又,所以 50分2018A四、(
2、本题满分50分)数列定义如下:是任意正整数,对整数,与互素,且不等于的最小正整数,证明:每个正整数均在数列中出现。证明:显然或者.下面考虑整数,设有个不同的素因子,我们对归纳证明在中出现.记,.时,是素数方幂,记,其中,是素数.假设不在中出现.由于各项互不相同,因此存在正整数,当时,都有.若对某个,那么与互素,又中无一项是,故有数列定义知,但是,矛盾!因此对每个,都有.又,可得,从而与不互素,这与的定义矛盾!假设,且结论对成立.设的标准分解为.假设不在中出现,于是存在正整数,当时,都有.取充分大的正整数,使得.我们证明,对,有.对于任意,若与互素,则与互素,又在中均未出现,而,这与数列的定义矛盾,因此我们得到:对于任意,与不互素,若存在(),使得,则,故,从而(因为)。若对每个(),均有,则由知,必有.于是,进而,即.故由知:存在(),使得,再由及前面的假设,可知,故。因此,对,均有,而,故不在中出现,这与假设矛盾!因此,若有个不同的素因子,则一定在数列中出现.由数学归纳法知,所以正整数均在数列中出现。2018B四、(本题满分50分)给定整数。证明:对任意正整数,存在正整数,使得连续个
3、数,均是合数。证明:设是中与互素的全体整数,则,无论正整数如何取值,均与不互素且大于,故为合数。对任意,因,故有素因子.我们有(否则,因是素数,故,但,从而,即与不互素,与的取法矛盾).因此,由费马小定理知,现取,对任意,注意到,故有.又,故为合数。综上所述,当时,均是合数。2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过,则称其为“平稳数”,则平稳数的个数是 答案: 解析:考虑平稳数。若,则,有个平稳数;若,则,有个平稳数;若,则,有个平稳数;若,则,有个平稳数;综上可知,平稳数的个数为。2017B 8、若正整数满足,则数组的个数为 答案:解析:由条件知,当时,有,对于每个这样的正整数,由知,相应的的个数为,从而这样的正整数组的个数为,当时,由,知,进而,故,此时共有2组.综上所述,满足条件的正整数组的个数为.2016A 8、设是中的个互不相同的数,满足,则这样的有序数组的个数为 答案:40解析:由柯西不等式知,等号成立的充分必要条件是,即成等比数列于是问题等价于计算满足的等比数列的个数设等比数列的公比,且为有理数记,其中为互素的正整数,且先考虑的情况此时,注意到互素,故为
4、正整数 相应地,分别等于,它们均为正整数这表明,对任意给定的,满足条件并以为公比的等比数列的个数,即为满足不等式的正整数的个数,即由于,故仅需考虑这些情况,相应的等比数列的个数为当时,由对称性可知,亦有20个满足条件的等比数列综上可知,共有40个满足条件的有序数组2016A四、(本题满分50分)设与均是素数,数列定义为,这里表示不小于实数的最小整数。证明:对,均有成立。证明:首先注意到,数列是整数数列。对用数学归纳法。当时,由条件知,故,又与均是素数,且,故必须,因此,即时,结论成立。对,设时结论成立,即,此时,故故对时,有,显然,因为,是素数,故,又是大于的自然数,故,从而与互素,故由可知。由数学归纳法知,对,均有成立。2016B 8、设正整数满足,且这样的的个数为 这里,其中表示不超过的最大整数答案:解析:由于对任意整数,有等号成立的充分必要条件是,结合知,满足条件的所有正整数为共有个解析:首先注意到,若为正整数,则对任意整数,若,则这是因为,当时,这里是一个整数,故因此,当整数满足时,容易验证,当正整数满足时,只有当时,等式才成立而,故当时,满足正整数的个数为2016B一、(本题
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