2020年九年级数学上册24.1圆的有关性质(讲练)【含解析】
17页1、2020年九年级数学上册24.1圆的有关性质(讲练)一、知识点1.与圆有关的概念和性质(1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形如图所示的圆记做O.(2)弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,过 圆心的弦叫做直径,直径是圆内最长的弦.(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧.(4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.(5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.(6)弦心距:圆心到弦的距离.知识点二 :垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性,如图所示,在以下五条结论中: 弧AC=弧BC;弧AD=弧BD;AE=BE;ABCD;CD是直径.只要满足其中两个,另外三个结论一定成立,即推二知三.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合,解题时往往需要添加辅助线,一般过圆心作弦的垂线,构造直角三角形.3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等
2、圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等4.圆周角定理及其推论(1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ( 2 )推论: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b,A=C. 直径所对的圆周角是直角.如图c,C=90. 圆内接四边形的对角互补.如图a,A+C=180,ABC+ADC=180.二、标准例题:例1:如图,的半径为,点是弦延长线上的一点,连接,若,则弦的长为( )ABCD【答案】C【解析】解:如图:过点O作OHAB于点H,连接OA,在RtOHP中,P=30,OP=4, 在RtOAH中,OA=3, 故选总结:本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大,但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键.例2:如图,CD是O的直径,弦ABCD,连接OA,OB,BD,若AOB100,则ABD _度。【答案】25【解析】解:CD是O的直径,弦ABCD,AOD=BOD=AOB=50,ABD=AOD=25总结:本题考查了垂径定理和圆周角定理:在同圆或等圆
3、中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半例3:已知:如图,O的两条半径OAOB,C,D是的三等分点,OC,OD分别与AB相交于点E,F求证:CDAEBF【答案】见解析【解析】连接AC、BD,OAOB,AOB=90,OA=OB,OAB=OBA=45,C,D是的三等分点,AC=CD=BD,AOC=COD=DOB=30,AOC=COD,OA=OC=OD,AOCCOD,ACO=OCD,OEFOAE+AOE45+3075,OCD=75,OEFOCD,CDAB,AECOCD,ACOAEC故ACAE,同理,BFBD又ACCDBDCDAEBF总结:本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质,在同圆或等圆中,圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等例4:如图,是半圆的直径,为弦,为弧的中点,于点,交于点,交于点.求证:.【答案】见解析.【解析】为弧的中点,B=CAF,是半圆的直径,.,.是的中点,.,.总结:本题考查圆周角定理和等腰三角形的性质,解题的关键是熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质.三、练习1.在两个圆中
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