2020年上海市春季高考数学试卷含答案

1、2020年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分)1（4分）（2020上海）集合A1，3，B1，2，a，若AB，则a 2（4分）（2020上海）不等式1x3的解集为 3（4分）（2020上海）函数ytan2x的最小正周期为 4（4分）（2020上海）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为 5（4分）（2020上海）已知3sin2x2sinx，x（0，），则x 6（4分）（2020上海）若函数ya3x+13x为偶函数，则a 7（5分）（2020上海）已知直线l1：x+ay1，l2：ax+y1，若l1l2，则11与l2的距离为 8（5分）（2020上海）已知二项式（2x+x）5，则展开式中x3的系数为 9（5分）（2020上海）三角形ABC中，D是BC中点，AB2，BC3，AC4，则ADAB= 10（5分）（2020上海）已知A3，2，1，0，1，2，3，a、bA，则|a|b|的情况有 种11（5分）（2020上海）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足AnAn+1An+1An+2=0（n1，2，3），|AnAn+1

2、|An+1An+2|n+1（n1，2，3），则|A1A5|的最小值为 12（5分）（2020上海）已知f（x）=x-1，其反函数为f1（x），若f1（x）af（x+a）有实数根，则a的取值范围为 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13（5分）（2020上海）计算：limn3n+5n3n-1+5n-1=（）A3B53C35D514（5分）（2020上海）“”是“sin2+cos21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件15（5分）（2020上海）已知椭圆x22+y21，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且ABCD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C圆D抛物线16（5分）（2020上海）数列an各项均为实数，对任意nN*满足an+3an，且行列式anan+1an+2an+3=c为定值，则下列选项中不可能的是（）Aa11，c1Ba12，c2Ca11，c4Da12，c0三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+1876分)17（14分）（2020上海）已知四棱锥PABCD，底面A

3、BCD为正方形，边长为3，PD平面ABCD（1）若PC5，求四棱锥PABCD的体积；（2）若直线AD与BP的夹角为60，求PD的长18（14分）（2020上海）已知各项均为正数的数列an，其前n项和为Sn，a11（1）若数列an为等差数列，S1070，求数列an的通项公式；（2）若数列an为等比数列，a4=18，求满足Sn100an时n的最小值19（14分）（2020上海）有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设点B（x，0），现要建设另一座垃圾投放点2（t，0），函数ft（x）表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离（1）若t60，求f60（10）、f60（80）、f60（95）的值，并写出f60（x）的函数解析式；（2）若可以通过ft（x）与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利问：垃圾投放点2建在何处才能比建在中点时更加便利？20（16分）（2020上海）已知抛物线y2x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线xt于A、B两点（1）若点M纵坐标为2，求M与焦点的距离；（2）若t1

4、，P（1，1），Q（1，1），求证：yAyB为常数；（3）是否存在t，使得yAyB1且yPyQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由21（18分）（2020上海）已知非空集合AR，函数yf（x）的定义域为D，若对任意tA且xD，不等式f（x）f（x+t）恒成立，则称函数f（x）具有A性质（1）当A1，判断f（x）x、g（x）2x是否具有A性质；（2）当A（0，1），f（x）x+1x，xa，+），若f（x）具有A性质，求a的取值范围；（3）当A2，m，mZ，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值2020年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分)1（4分）（2020上海）集合A1，3，B1，2，a，若AB，则a3【考点】18：集合的包含关系判断及应用菁优网版权所有【分析】利用集合的包含关系即可求出a的值【解答】解：3A，且AB，3B，a3，故答案为：3【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题2（4分）（2020上海）不等式1x3的解集为（0，13）【考点】7E

5、：其他不等式的解法菁优网版权所有【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集【解答】解：由1x3得1-3xx0，则x（13x）0，即x（3x1）0，解得0x13，所以不等式的解集是（0，13），故答案为：（0，13）【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题3（4分）（2020上海）函数ytan2x的最小正周期为2【考点】H1：三角函数的周期性菁优网版权所有【分析】根据函数ytanx的周期为，求出函数ytan2x的最小正周期【解答】解：函数ytan2x的最小正周期为 2，故答案为：2【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题4（4分）（2020上海）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为2【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【分析】设za+bi，（a，bR）根据复数z满足z+2z=6+i，利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解：设za+bi，（a，bR）复数z满足z+2z=6+i，3abi6+i，可得：3a6，b1，解得a2，b1则z的实部为2故答案为：2【点评】本题考查了复数的运算法则、

6、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（4分）（2020上海）已知3sin2x2sinx，x（0，），则xarccos13【考点】GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【分析】根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论【解答】解：3sin2x2sinx，6sinxcosx2sinx，x（0，），sinx0，cosx=13，故xarccos13故答案为：arccos13【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键6（4分）（2020上海）若函数ya3x+13x为偶函数，则a1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得a3（x）+13(-x)=a3x+13x，变形分析可得答案【解答】解：根据题意，函数ya3x+13x为偶函数，则f（x）f（x），即a3（x）+13(-x)=a3x+13x，变形可得：a（3x3x）（3x3x），必有a1；故答案为：1【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题7（5分）（2020上海）已知直线l1：x+ay1，l2：ax+y1，若

7、l1l2，则11与l2的距离为2【考点】IU：两条平行直线间的距离菁优网版权所有【分析】由l1l2求得a的值，再根据两平行线间的距离计算即可【解答】解：直线l1：x+ay1，l2：ax+y1，当l1l2时，a210，解得a1；当a1时l1与l2重合，不满足题意；当a1时l1l2，此时l1：xy10，l2：xy+10；则11与l2的距离为d=|-1-1|12+(-1)2=2故答案为：2【点评】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题8（5分）（2020上海）已知二项式（2x+x）5，则展开式中x3的系数为10【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【分析】由C54(2x)1(x)4=10x3，可得到答案【解答】解：C54(2x)1(x)4=10x3，所以展开式中x3的系数为10故答案为：10【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题9（5分）（2020上海）三角形ABC中，D是BC中点，AB2，BC3，AC4，则ADAB=194【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【分析】根据余弦定理即可求出cosBAC=1116，并得出ADAB=12(AB

8、+AC)AB，然后进行数量积的运算即可【解答】解：在ABC中，AB2，BC3，AC4，由余弦定理得，cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=4+16-9224=1116，ABAC=241116=112，且D是BC的中点，ADAB=12(AB+AC)AB=12(AB2+ABAC) =12(4+112) =194故答案为：194【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题10（5分）（2020上海）已知A3，2，1，0，1，2，3，a、bA，则|a|b|的情况有18种【考点】D1：分类加法计数原理菁优网版权所有【分析】先讨论a的取值，得到对应b的值，再整体求和即可【解答】解：当a3，0种，当a2，2种，当a1，4种；当a0，6种，当a1，4种；当a2，2种，当a3，0种，故共有：2+4+6+4+218故答案为：18【点评】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目11（5分）（2020上海）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足AnAn+1An+1An+2=0（n1，2，3），|AnAn+1|An+1An+2|n+1（n1，2，3），则|A1A5|的最小值为63【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【分析】可设|A1A2|=x，从而据题意可得出|A2A3|=2x，|A3A4|=3x2，|A4A5|=83x，并设A1（0，0），根据是求|A1A5|的最小值，从而可得出A5(-x

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