五、异_方_差_性

1、1,第 三 讲,二、异 方 差 性,放宽古典假定下的计量经济模型,2,引子：更为接近真实的结论是什么？,根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与人口数资料，分析医疗机构与人口数量的关系，建立卫生医疗机构数与人口数的回归模型。对模型估计的结果如下： （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265) 式中: Y为卫生医疗机构数（个）, X为人口数量（万人）。 人口数量对应参数的标准误差较小 t 统计量远大于临界值 F检验结果明显很显著 可决系数和修正的可决系数结果比较好 表明该模型的估计效果不错。,3,真的每2000人就需要一个医疗机构吗 ?,该模型的估计结果表明: 可以认为人口数量每增加1万人，平均说来医疗机构将增加5.3735个。 然而，这里得出的结论是否可靠呢? 每增加1万人口平均说来真的需要增加这样多的医疗机构吗? 问题: 有什么充分的理由说明这一回归结果不可靠呢？ 为什么会得出这种不切实际的结论呢? 更为接近真实的结论应该是什么呢？,4,二、异方差性,将讨论四个问题： 异方差的实质和产生的原因 异方差产生的后果 异方差的检测方法

2、异方差的补救,5,（一） 异方差性的概念,1、异方差的实质,回顾：总体回归线是Y的条件期望 的轨迹 其中 是 对回归线(条件期望)的偏离 度量的是被解释变量的观测值 围绕回归线 的分散程度 基本假定中同方差的含义: 同方差性：指对所有的观测值 有： 因此同方差性指的是所有 的观测值对回归线的分散程度都 相同。,6,同方差性的图示（简单线性回归时）,7,模型中随机扰动项包含的因素很多,但主要代表两方面影响： （1）被模型忽略的其他变量(因素)对被解释变量的影响 （2）某些变量测量误差的影响 同方差性是指这两方面都不会随 的变化而变化。而实际 上随机扰动代表的这两方面因素有可能随 的变化而变化， 使得随机扰动项的方差也可能随 的变化而变化，这种情 况称为存在异方差性，表现为 (对比同方差时为 ) 异方差可看成是由某个解释变量的变化而引起方差的变化， 则,异方差性的含义：,8,异方差性的图示（简单线性回归时）,9,2、产生异方差性的原因,从模型中略去的变量,可能随模型中的解释变量 的变 化也呈现某种规律性的变化，导致 随 而变化。 例如模型本来应该为 却设定为 若 与 有关，如 事实上此时

3、这样模型中的随机项 及方差可能会随 的变动而变化。 模型设定不恰当产生的异方差。 如果一些重要变量被忽略，随机项 随重要变量的变动而变动；或把 非线性模型设定为线性，可能导 致异方差,(略去了 ),10,统计测量误差导致的异方差 因为测量误差有可能随解释变量X的增大而增大 截面数据中总体各单位的差异可能导致异方差 一般说,异方差性在截面数据中可能比在时间序列数据中更常出现（原因：同一时点不同对象的差异一般会大于同一对象不同时间的差异） 注意：在经济高速增长、经济结构发生较大变化时,时间序列也常出现异方差,11,存在异方差时，OLS估计仍然是无偏估计（由第二章参数估计的统计特性可知，只用到零均值假定E(ui)=0,以及解释变量的非随机性），但是 1、OLS估计式不再具有最小方差特性 OLS估计式的方差不一定是最小的，即OLS估计 式虽然无偏，但不一定是最佳的估计。 最小方差性的证明条件之一同方差性已不成立 （见P59最小方差性证明用到条件 ） 存在异方差时，事实上能够再找到比OLS 的方差更 小的估计方法 可见，需要深刻认识参数估计量方差与异方差和自相关性质的 关系。,（二） 异方差性的

4、后果,12,异方差和自相关与参数估计量方差的关系 (为说明方便，以一元回归为例),容易证明 对于 有 这里令 则 因此有,(见教材P32),其中,13,14,由 在同方差且无自相关时 在异方差但无自相关时 在同方差但自相关时 结论：参数估计量方差与异方差和自相关的性质有密切关系,15,（1） 参数估计式方差的确定会面临困难 例如一元回归中，已证明在异方差时 未知，且不再是常数，也不能再用 去估计，因此事实上这时 已难以确定， 也将 难以确定。,2、解释变量的显著性检验失效,16,在异方差但无自相关时 设存在异方差时的参数为 ，估计式为 例如， 方差为 存在异方差时 的方差为: 如果 ，则有 注意: 是不存在异方差时 的方差,（2）如果仍用OLS法,可能会低估参数估计量的方差,17,可以看出，如果仍然用不存在异方差性时的OLS方式去估计其方差，例如一元回归时用 所估计的方差，可能会低估存在异方差时的的真实方差。 后果： 低估了 ，也就会高估 t 统计量，从而 夸大所估计参数的统计显著性。,由,18,尽管参数的OLS估计量仍然无偏，并且基于此的预测 也是无偏的，但是异方差对区间预测有多方面

5、影响: 由于 难以确定，Y 的方差也难以确定，Y 置信区间 的确定会出现困难 由于异方差的存在， 的方差增大，Y预测值的精确 度将会下降 在 是 无偏估计的证明 (P60附录2.2) 中也用到了 的同方差性假定，由于存在异方差性， 使得 的估计不再是无偏估计，在此基 础上的区间估计和假设检验都将变得不可靠。,3、预测精度降低,区间预测将面临困难,19,（三） 异方差性的检验,1、图示检验法 基本思想： 异方差性的表现是 的方差随某个解释变量的变化而变化，或 Y 的分散程度随 X 的变化而变化。 因此可利用 的代表 与某解释变量的散布图，观察是否存在异方差及其异方差的形式， 或从 Y 的分散程度与 X 的关系观测是否存在异方差。 具体方法： 假定不存在异方差，进行回归，并计算剩余平方 , 描绘 与 的散点图或Y与X的散点图，作出近似判断。,20,Y与X之间图形举例: 分析Y与X的相关图形，也可以初略地看到Y的离散程度与X之间是否有相关关系。 用1998年四川省各市州农村居民家庭消费支出与家庭纯收入的数据，绘制出消费支出对纯收入的散点图，其中用 表示农村家庭消费支出， 表示家庭纯收入。,（

6、1）相关图形分析,21,例如对于一元线性回归模型： 运用OLS法估计,得样本回归模型为： 由上两式得残差： 绘制 对 的散点图 如果 不随 而变化，则表明不存 在异方差； 如果 随 而变化，则表明存在 异方差。,（2）残差图形分析,22,2、Goldfeld-Quandt 检验（GQ检验） 作用：检验递增性(或递减性)异方差。 基本思想： 将观测值按 的大小顺序排列 去掉中间位置的一部分观测值， 从而把观测值分为前后两部分 （目的是使差异更明显，提高分辨性） 将前后两部分分别作回归，分别 计算出各部分剩余 ， 比较两个回归的剩余平方和 ，看二者差异是否明显： 两个 之比接近于1，相差不大，为同方差， 两个 之比不同于1，相差较大，为异方差。 前提条件： 样本容量较大 服从正态分布，并除异方差外服从其他基本假定,C个,23,具体步骤： 排序: 将观测值按解释变量X大小顺序排列 数据分组:去掉中间的C个（约1/4）观测值，分别进行前后两部分 个观测值的回归 提出假设:分别进行前后两部分回归的基础上，提出检验假设： 是同方差（前后两部分方差无显著差异）， 即 是异方差（方差随X递增或递减）

7、如为递增 如为递减,24,构造F统计量： （1）若方差随X递增 统计量 F服从第一、二自由度均为 的F 分布。 判断： 查表得F临界值 若 （临界值），说明后部分的值比前部分的值显著的大，就拒绝 (同方差) ，即接受存在异方差性 若 （临界值），说明后部分不比前部分的值显著大，就接受 ，认为是同方差性,25,（2）如果方差随X递减 统计量 F服从第一、二自由度均为 的F 分布。 判断:查表得F临界值 若 （临界值），说明前部分的值比后部分的值显 著的大，就拒绝 (同方差) ，即接受存在异方差性 若 （临界值），说明前部分的值不比后部分的值 显著大，就接受 ，认为是同方差性,26,要求大样本 异方差的表现既可为递增型，也可为递减型 检验结果与选择数据删除的个数c的大小有关 只能判断异方差是否存在，在多个解释变量的情况下，对是哪一个变量引起异方差的判断存在局限。,Goldfeld-Quandt 检验的特点,27,3、White检验 基本思想： 如果存在异方差，其方差 与某解释变量有关系。在不知道关于异方差的任何先验信息时，在大样本的情况下，将OLS估计后的残差平方对解释变量的各种形式(如常

8、数、解释变量、解释变量的平方及其交叉乘积等)构成一个辅助回归，利用辅助回归建立相应的检验统计量来判断异方差性。 （本质：用解释变量的各种可能形式去试探）,28,例如两个解释变量的模型中 设 与 的关系为如下辅助回归: 但一般 未知，可用原模型回归剩余的平方 作为 的 估计值，进行以上辅助回归。在大样本情况下寻求能确定 分布的统计量，判断 的变化是否与解释变量有关。 (当有K个解释变量时，可作类似的含两两交互的辅助回归),其中 为随机误差项。,29,（1）求回归估计式并计算 用OLS法估计原模型，计算残差 ，并求残差的平方 。 （2）作辅助回归 用残差平方 作为异方差 的估计，建立 与 的辅助回归，即,检验的基本步骤：,并计算辅助回归的可决系数,30,（3）提出假设 （4）计算统计量 为样本容量， 为辅助回归可决系数。 在大样本情况下可以证明，在零假设成立下， 服从自由度为辅助回归中解释变量项数(这里为5)的 分布，即,31,（5）检验 给定显著性水平 ，查 分布表得临界值 ，如果 ， 不合理，则拒绝原假设 ，即认为模型中随机误差存在异方差 。 若 则不拒绝 ，即认为模型中随机误差是同方

9、差。,32, 要求为大样本 不仅能够检验异方差的存在性，同时在多变量的情况下，还能判断出是哪一个变量引起的异方差。,White检验的特点,33,4、ARCH检验 ARCH (autoregressive conditionanl helecosecdasticity）过 程（自回归条件异方差）：异方差呈现自回归的形式 p 为ARCH过程的阶数,并且 为随机误差。 基本思想： 时间序列数据中可检验存在的异方差性是否为 ARCH 过程： 因各个 均未知，用对原模型OLS估计的剩余项 去近似估计， 通过检验ARCH过程是否成立去判断是否存在异方差。,34,（1） 估计参数并计算 用OLS法估计原模型参数，求出残差 ，并计算 残差平方序列 ，以分别作为对 的估计。 （2）作辅助回归 计算辅助回归的可决系数 （3）提出原假设,ARCH 检验的基本步骤,35,（4）检验 计算辅助回归的可决系数 与 的乘积 ， 在 成立时，可以证明，基于大样本， 渐近 服从自由度为 的 分布，即 给定显著性水平 ，查 分布表得临界值 如果 ，则拒绝 ， 说明ARCH过程成立，表明模型存在异方差。 如果 ，则不拒绝 ， 说明ARC

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