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直线圆的位置关系课件上课讲义

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  • 卖家[上传人]:yulij****0329
  • 文档编号:137634087
  • 上传时间:2020-07-10
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  • 常见问题
    • 1、要点梳理 1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种: 、 、 . 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: (1)代数法: (2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径 r的大小关系:dr 相交,d=r 相切,dr 相离.,9.4 直线、圆的位置关系,基础知识 自主学习,相离,相交,相切,判别式 =b2-4ac,2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一 半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 |AB|= |xA-xB|= 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.,3.求过点P(x0,y0)的圆x2+y2=r2的切线方程 (1)若P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上, 则以P为切点的圆的切线方程为: . (2)若P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外,则过P的切 线方程可设为:y-y0=k(x-x0),利用待定系数 法求解. 说明:k为切线斜率,同时应考虑斜率不存在的 情况.,x0 x+y0y=r2,4.圆与圆的位置关系的判定 设C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r (r10), C2:(x-a2

      2、)2+(y-b2)2=r (r20),则有: |C1C2|r1+r2 C1与C2 ; |C1C2|=r1+r2 C1与C2 ; |r1-r2|C1C2|r1+r2 C1与C2 ; |C1C2|=|r1-r2|(r1r2)C1与C2 ; |C1C2|r1-r2| C1与C2 .,相离,外切,相交,内切,内含,2.圆x2+y2-4x=0在点P(1, )处的切线方程为( ) A.x+ y-2=0 B.x+ y-4=0 C.x- y+4=0 D.x- y+2=0 解析 圆方程为(x-2)2+y2=4,圆心(2,0), 半径为2,点P在圆上,设切线方程为y- =k(x-1), 即kx-y-k+ =0, 解得k= 切线方程为y- (x-1),即x- y+2=0.,D,3.(2009陕西理,4)过原点且倾斜角为60的 直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为 ( ) A. B.2 C. D.2 解析 过原点且倾斜角为60的直线方程为 x-y=0, 圆x2+(y-2)2=4的圆心(0,2)到直线的距离为d= 因此弦长为,D,4.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+

      3、1=0 的公切线有且仅有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析 C1:(x+1)2+(y+1)2=4, 圆心C1(-1,-1),半径r1=2. C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心C2(2,1), 半径r2=2. |C1C2|= ,0|C1C2|r1+r2=4, 两圆相交,有两条公切线.,B,5.若圆x2+y2=4上仅有一个点到直线x-y-b=0的距离 为1,则实数b= . 解析 由已知可得,圆心到直线x-y-b=0的距离 为3, =3,b=3 .,题型一 直线与圆的位置关系 【例1】已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m- 24=0(mR). (1)求证:不论m为何值,圆心在同一直线l上; (2)与l平行的直线中,哪些与圆相交、相切、 相离; (3)求证:任何一条平行于l且与圆相交的直线 被各圆截得的弦长相等.,题型分类 深度剖析,用配方法将圆的一般方程配成标准方程, 求出圆心坐标,消去m就得关于圆心的坐标间的关 系,就是圆心的轨迹方程;判断直线与圆相交、 相切、相离,只需比较圆心到直线的距离d与圆半 径的大小即可;证明弦长相等时,可用几何法计

      4、 算弦长.,思维启迪,(1)证明 配方得:(x-3m)2+y-(m-1)2 =25, 设圆心为(x,y), 消去m得 x-3y-3=0,则圆心恒在直线l:x-3y-3=0上. (2)解 设与l平行的直线是l1:x-3y+b=0, 则圆心到直线l1的距离为 圆的半径为r=5, 当dr,即-5 -3b5 -3时,直线与圆相交; 当d=r,即b=5 -3时,直线与圆相切; 当dr,即b-5 -3或b5 -3时,直线与圆 相离.,(3)证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直 线l1:x-3y+b=0,由于圆心到直线l1的距离 d= 且r和d均为常量. 任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截 得的弦长相等.,探究提高 判断直线与圆的位置关系可以看成它们 构成的方程组有无实数解,也可以根据圆心到直线 的距离与半径长的关系进行判断. 求圆的弦长有多种方法:一是直接求出直线与圆的 交点坐标,再利用两点间的距离公式得出;二是不 求交点坐标,利用一元二次方程根与系数的关系得 出,即设直线的斜率为k,直线与圆联立消去y后所 得方程两根为x1、x2,则弦长d= |x1-x2|; 三是利用圆中半弦长、弦心距及

      5、半径构成的直角三 角形来求.对于圆中的弦长问题,一般利用第三种方 法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.,知能迁移1 m为何值时,直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5. (1)无公共点; (2)截得的弦长为2; (3)交点处两条半径互相垂直. 解 (1)由已知,圆心为O(0,0),半径r= , 圆心到直线2x-y+m=0的距离 直线与圆无公共点,dr,即 m5或m-5. 故当m5或m-5时,直线与圆无公共点.,(2)如图所示,由平面几何垂径定理知 r2-d2=12,即5- =1. 得m=2 , 当m=2 时,直线被圆截得的弦长为2. (3)如图所示,由于交点处两条半径互相垂直, 弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形, d= ,即 解得m= 故当m= 时,直线与圆在两交 点处的两条半径互相垂直.,题型二 圆的切线及弦长问题 【例2】已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆 (x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过M点的圆的切线方程; (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值; (3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且 弦AB的长为2 ,求a的值.,思维启迪,

      6、解 (1)圆心C(1,2),半径为r=2, 当直线的斜率不存在时,方程为x=3. 由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知, 此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3), 即kx-y+1-3k=0. 由题意知 解得k= . 方程为y-1= (x-3),即3x-4y-5=0. 故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.,(2)由题意有 解得a=0或a= . (3)圆心到直线ax-y+4=0的距离为 解得a=- .,探究提高 求过一点的圆的切线方程,首先要判断此点是否在圆上.若在圆上,该点为切点;若不在圆上,切线应该有两条,设切线的点斜式方程,用待定系数法求解.注意,需考虑无斜率的情况.求弦长问题,要充分运用圆的几何性质.,知能迁移2 已知点A(1,a),圆x2+y2=4. (1)若过点A的圆的切线只有一条,求a的值及 切线方程; (2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线 被圆截得的弦长为2 ,求a的值. 解(1)由于过点A的圆的切线只有一条,则点 A在圆上,故12+a2=4,a= . 当a= 时,A(1, ),切线方程为x+ y-4

      7、=0; 当a=- 时,A(1,- ),切线方程为x- y-4=0, a= 时,切线方程为x+ y-4=0, a=- 时,切线方程为x- y-4=0.,(2)设直线方程为x+y=b, 由于过点A,1+a=b,a=b-1. 又圆心到直线的距离d= +3=4,b= ,a= -1.,题型三 圆与圆的位置关系 【例3】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10 x- 12y+m=0. (1)m取何值时两圆外切? (2)m取何值时两圆内切? (3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和 公共弦的长. 利用两圆的连心线的长与两圆半径之 间的关系判断两圆的位置关系.,思维启迪,解 两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11, (x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为M(1,3),N(5,6), 半径分别为 和 . (1)当两圆外切时, 解得m=25+10 . (2)当两圆内切时,因定圆的半径 小于两 圆圆心间距离5, 故只有 - =5,解得m=25-10 .,(3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0,

      8、即4x+3y-23=0, 公共弦长为 应注意两圆位置由圆心距和两半径的 和与差来确定,从而确定切线的条数.求公共弦方 程时,只需将两圆方程相减即可.,探究提高,知能迁移3 圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆 心O2(2,1). (1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内 公切线方程; (2)若圆O2与圆O1交于A、B两点,且|AB|=2 , 求圆O2的方程. 解 (1)两圆外切, |O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2( -1), 故圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=4( -1)2. 两圆的方程相减,即得两圆内公切线的方程 x+y+1-2 =0.,(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r , 圆O1的方程为:x2+(y+1)2=4,此两圆的方程相 减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程: 4x+4y+r -8=0. 作O1HAB,则|AH|= |AB|= ,O1H= , 由圆心(0,-1)到直线的距离得 得r =4或r =20, 故圆O2的方程为 (x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.,题型四 直线与圆

      9、的综合应用 【例4】(12分)已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N 两点. (1)求实数k的取值范围; (2)求证: 为定值; (3)若O为坐标原点,且 =12,求k的值.,(1)由于直线与圆C相交于M、N两点, 故利用直线与圆相交的条件即可求得k的范围. (2) =| | |cos 0 =| | |,故而想到切割线定理即可证得 结论. (3) =x1x2+y1y2,联想根与系数的关系即 可解决.,思维启迪,(1)解 方法一 直线l过点A(0,1)且斜率 为k, 直线l的方程为y=kx+1. 2分 将其代入圆C:(x-2)2+(y-3)2=1, 得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 由题意:=-4(1+k)2-4(1+k2)70, 得 4分,方法二 同方法一得直线方程为y=kx+1, 即kx-y+1=0. 2分 又圆心到直线距离d= 4分 (2)证明 设过A点的圆的切线为AT,T为切点, 则|AT|2=|AM|AN|, |AT|2=(0-2)2+(1-3)2-1=7, | | |=7. 6分 根据向量的运算: =| | |cos 0=7为定值. 8分,(3)解 设M(x1,y1),N(x2,y2),则由得 =x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = k=1(代入检验符合题意). 12分,10分,探究提高 本题涉及的知识点很多,虽然含有向量,但只是用到了平面向量最基本的知识,最后 还是很常规的用到点到直线的距离、根与系数的 关系等方法,能否将问题合理地转换是解题的关键. 已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求 此切线的方程; (2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线, 切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求 使得|PM|取得最小值的点P的坐标.,知能迁移4,解(1)将圆C配方得(x+1)2+(y-2)2=2. 当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方 程为y=kx,由直线与圆相切得 即k=2 ,从而切线方程

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