直线圆的位置关系课件上课讲义
55页1、要点梳理 1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种: 、 、 . 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: (1)代数法: (2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径 r的大小关系:dr 相交,d=r 相切,dr 相离.,9.4 直线、圆的位置关系,基础知识 自主学习,相离,相交,相切,判别式 =b2-4ac,2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一 半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 |AB|= |xA-xB|= 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.,3.求过点P(x0,y0)的圆x2+y2=r2的切线方程 (1)若P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上, 则以P为切点的圆的切线方程为: . (2)若P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外,则过P的切 线方程可设为:y-y0=k(x-x0),利用待定系数 法求解. 说明:k为切线斜率,同时应考虑斜率不存在的 情况.,x0 x+y0y=r2,4.圆与圆的位置关系的判定 设C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r (r10), C2:(x-a2
2、)2+(y-b2)2=r (r20),则有: |C1C2|r1+r2 C1与C2 ; |C1C2|=r1+r2 C1与C2 ; |r1-r2|C1C2|r1+r2 C1与C2 ; |C1C2|=|r1-r2|(r1r2)C1与C2 ; |C1C2|r1-r2| C1与C2 .,相离,外切,相交,内切,内含,2.圆x2+y2-4x=0在点P(1, )处的切线方程为( ) A.x+ y-2=0 B.x+ y-4=0 C.x- y+4=0 D.x- y+2=0 解析 圆方程为(x-2)2+y2=4,圆心(2,0), 半径为2,点P在圆上,设切线方程为y- =k(x-1), 即kx-y-k+ =0, 解得k= 切线方程为y- (x-1),即x- y+2=0.,D,3.(2009陕西理,4)过原点且倾斜角为60的 直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为 ( ) A. B.2 C. D.2 解析 过原点且倾斜角为60的直线方程为 x-y=0, 圆x2+(y-2)2=4的圆心(0,2)到直线的距离为d= 因此弦长为,D,4.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+
3、1=0 的公切线有且仅有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析 C1:(x+1)2+(y+1)2=4, 圆心C1(-1,-1),半径r1=2. C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心C2(2,1), 半径r2=2. |C1C2|= ,0|C1C2|r1+r2=4, 两圆相交,有两条公切线.,B,5.若圆x2+y2=4上仅有一个点到直线x-y-b=0的距离 为1,则实数b= . 解析 由已知可得,圆心到直线x-y-b=0的距离 为3, =3,b=3 .,题型一 直线与圆的位置关系 【例1】已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m- 24=0(mR). (1)求证:不论m为何值,圆心在同一直线l上; (2)与l平行的直线中,哪些与圆相交、相切、 相离; (3)求证:任何一条平行于l且与圆相交的直线 被各圆截得的弦长相等.,题型分类 深度剖析,用配方法将圆的一般方程配成标准方程, 求出圆心坐标,消去m就得关于圆心的坐标间的关 系,就是圆心的轨迹方程;判断直线与圆相交、 相切、相离,只需比较圆心到直线的距离d与圆半 径的大小即可;证明弦长相等时,可用几何法计
4、 算弦长.,思维启迪,(1)证明 配方得:(x-3m)2+y-(m-1)2 =25, 设圆心为(x,y), 消去m得 x-3y-3=0,则圆心恒在直线l:x-3y-3=0上. (2)解 设与l平行的直线是l1:x-3y+b=0, 则圆心到直线l1的距离为 圆的半径为r=5, 当dr,即-5 -3b5 -3时,直线与圆相交; 当d=r,即b=5 -3时,直线与圆相切; 当dr,即b-5 -3或b5 -3时,直线与圆 相离.,(3)证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直 线l1:x-3y+b=0,由于圆心到直线l1的距离 d= 且r和d均为常量. 任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截 得的弦长相等.,探究提高 判断直线与圆的位置关系可以看成它们 构成的方程组有无实数解,也可以根据圆心到直线 的距离与半径长的关系进行判断. 求圆的弦长有多种方法:一是直接求出直线与圆的 交点坐标,再利用两点间的距离公式得出;二是不 求交点坐标,利用一元二次方程根与系数的关系得 出,即设直线的斜率为k,直线与圆联立消去y后所 得方程两根为x1、x2,则弦长d= |x1-x2|; 三是利用圆中半弦长、弦心距及
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