(河北专)中考数学第三编综合专题闯关篇题型二解答题重难点突破专题一猜想证明与探究试题
11页1、题型二解答题重难点突破专题一猜想证明与探究1猜想与证明问题河北中考近8年共考查8次,为每年必考内容,都是以解答题的形式出现,分值为914分2考查类型:(1)与图形的位似有关,探究两条边之间的关系,此类题在2012年考查过一次,主要是利用三角形的性质来解决,分值为9分;(2)与尺规作图有关,利用正方形的性质探究边与边之间的关系,其中有一问会涉及到如何作图,此题在2011年考查过一次,分值为9分;(3)与旋转有关,主要是利用旋转前后的性质,分别涉及到直线和正方形,在2010年和2009年考查过,分值为10分,在2013年考查过,分值为11分;(4)折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析,此题在2014年考查过,分值为11分;与图形的折叠、平移有关,2015年考查,分值14分,平移问题主要是用到了平移前后的性质和三角形的性质,探究边与边之间的关系,在2008年考查过,分值为10分.2016年在此题型上来考查预计2017年河北中考很有可能考查此内容,在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题,中考重难点突破)与图形旋转有关的证明【经典导例】【例1】(2010河北中
2、考)在图至图中,直线MN与线段AB相交于点O,1245.(1)如图,若AOOB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系;(2)将图中的MN绕点O顺时针旋转得到图,其中AOOB.求证:ACBD,ACBD;(3)将图中的OB拉长为AO的k倍得到图,求的值【学生解答】(1)AOBD,AOBD;(2)如图,过点B作BECA交DO于点E,ACOBEO.又AOOB,AOCBOE,AOCBOE,ACBE.又145,ACOBEO135.DEB45,245,BEBD,EBD90.ACBD.延长AC交DB的延长线于点F,BEAC,AFD90,ACBD;(3)如图,过点B作BECA交DO于点E,BEOACO.又BOEAOC,BOEAOC.又OBkAO,由(2)的方法易得BEBD,k.【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具,由对应角的关系得到两线段相等或者对应成比例有时需先进行等量代换,将两线段放到相似三角形或全等三角形中,若出现直角三角形,则利用直角三角形的性质求解(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直先观察图形,根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直若平行,则常通过以下方
3、法进行证解:平行线的判定定理;平行四边形对边平行;三角形中位线性质等若垂直,则可考虑以下途径:证明两线段所在直线夹角为90;两线段是矩形的邻边;两线段是菱形的对角线;勾股定理的逆定理;利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明1(2015重庆中考)在ABC中,ABAC,A60,点D是线段BC的中点,EDF120,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图1,若DFAC,垂足为点F,AB4,求BE的长;(2)如图2,将(1)中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:BECFAB;(3)如图3,将(2)中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线交与点F,作DNAC于点N,若DNFN,求证:BECF(BECF)解:(1)由四边形AEDF的内角和为360,可知DEAB,故BE1;(2)取AB的中点G,连接DG.易证:DG为ABC的中位线,故DGDC,BGDC60,又四边形AEDF的对角互补,故GEDDFC.DEGDFC,故EGCF.BECFBEEGBGAB;(3)取AB的中点G,连接DG,同(2),易证DE
4、GDFC,故EGCF,故BECFBEEGBGAB.设CNx,在RtDCN中,CD2x,DNx,在RtDFN中,NFDNx,故EGCF(1)x.BEBGEGDCCF2x(1)x(1)x.故BECF(1)x(1)x2x.(BECF)(1)x(1)x2x.故BECF(BECF)2(2016河北中考)如图,OAB中,OAOB10,AOB80,以点O为圆心,6为半径的优弧分别交 OA,OB于点M,N.(1)点P在右半弧上(BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80得OP.求证:APBP;(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;(3)设点Q在优弧上,当AOQ的面积最大时,直接写出BOQ的度数解:(1) AOPAOBBOP80BOP,BOPPOPBOP80BOP,AOPBOP,又OAOB,OPOP,在AOP和BOP中,AOPBOP(SAS), APBP;(2)如图1,连接OT,过点T作THOA于点H, AT与相切,ATO90,AT8,OATHATOT, 即10TH86,即TH,T,即为所求的距离;(3)如图2,当OQOA时,AOQ的面积最大理由:OQOA, QO是AOQ中最长的高,
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