届高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第三课时导数与函数的综合问题课时跟踪检测文
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1、课时跟踪检测（十六） 导数与函数的综合问题一保高考，全练题型做到高考达标1定义在实数集上的函数f(x)x2x，g(x)x32xm.(1)求函数f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若f(x)g(x)对任意的x4,4恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)x2x，当x1时，f(1)2，f(x)2x1，f(1)3，所求切线方程为y23(x1)，即3xy10.(2)令h(x)g(x)f(x)x3x23xm，则h(x)(x3)(x1)当4x1时，h(x)0；当1x3时，h(x)0；当3x4时，h(x)0.要使f(x)g(x)恒成立，即h(x)max0，由上知h(x)的最大值在x1或x4处取得，而h(1)m，h(4)m，所以m0，即m，实数m的取值范围为.2已知函数f(x)(a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值所以，函数f(x)的极小值为f(2)，函数f(x)无极大值(2)
2、F(x)f(x).当a0时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)极小值若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)10，解得ae2，所以此时e2a0.故实数a的取值范围为(e2,0)3某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时，y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)，可知y10(x6)2.设该商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)元，则f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6，所以f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)令f(x)0，得x4或6(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值由上表，可知当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.故当销售价格为4元
3、/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大4(2016扬州调研)已知函数f(x)ax2(a21)x和g(x)x.(1)求证：不论实数a取何值，f(x)总有两个极值点；(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点，求实数a的值解：(1)证明：由题意，知f(x)x22axa21x(a1)x(a1)，令f(x)0，解得xa1或xa1，当xa1时，f(x)0，当a1xa1时，f(x)0，所以xa1为f(x)的极大值点，xa1为f(x)的极小值点所以不论实数a取何值，f(x)总有两个极值点(2)由题意，知g(x)1.令g(x)0，得xa或xa.因为f(x)和g(x)有相同的极值点，且a和a1，a1不可能相等，所以当aa1时，a；当aa1时，a.经检验，当a或时，f(x)和g(x)有相同的极值点所以a或a.二上台阶，自主选做志在冲刺名校设函数f(x)exax1.(1)若函数f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)当a0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)0；(3)求证：对任意的正整数n，都有1n12n13n1nn1(n1)n1.解：(1)由题意知f(x)exa0对xR恒成立，且ex0，故a的取值范围为(，0(2)证明：由a0，及f(x)exa可得，函数f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故函数f(x)的最小值为g(a)f(ln a)eln aaln a1aaln a1，则g(a)ln a，故当a(0,1)时，g(a)0，当a(1，)时，g(a)0，从而可知g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且g(1)0，故g(a)0.(3)证明：由(2)可知，当a1时，总有f(x)exx10，当且仅当x0时等号成立即当x0时，总有exx1.于是，可得(x1)n1(ex)n1e(n1)x.令x1，即x可得n1en；令x1，即x可得n1e(n1)；令x1，即x可得n1e(n2)；令x1，即x可得n1e1.对以上各式求和可得：n1n1n1n1ene(n1)e(n2)e11.故对任意的正整数n，都有1n12n13n1nn1(n1)n4
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