三角形的内心与旁心(问题)
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1、【几何十讲】三角形的五心-A（角分线心）内心与旁心 陶平生三角形的五心是指内心、外心、重心、垂心与旁心；在数学竞赛中占有十分重要的位置从赛题统计方面来看，其中又以角分线心的问题最为突出，必须熟悉其基本性质，基本构形，常用辅助线以及基本定理的应用本讲座介绍内心与旁心问题的内心为，而边外的旁心分别为；分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交外接圆于，交于，显然，三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直，并且有、；、；、；、；、；、；（称为对称比定理）、，（俗称“鸡爪”定理）（注意，中最后一等式仅当外角分线与边有交点时使用）、中，是的平分线，点分别在上，满足，分别是的中点；证明： 、是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点；证明：分别是的内心与旁心、四边形中，自对角线的交点，作于，线段交于，交于，是线段上的任意一点.证明：点到线段的距离等于到线段、的距离之和.、的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形、如图，四边形内接于，而与外切于点，且都内切于，若对角线分别是、的内、外公切线；证明：点是的内心、如图，是所在平面上的一点，设
2、点关于该三角形的三条内角平分线的对称点为；证明：三线共点、（年全国高中数学联赛）内接于, 自作的切线, 又以为圆心,为半径作交直线于，交直线于；证明：四边形的四条边所在直线分别通过的内心及三个旁心. 、中，是角平分线上的任一点，分别是延长线上的点，且，；若分别是的中点；证明：、中，内切圆切于，设是的直径，若交于；证明：、（年东南赛）已知、分别是的外接圆和内切圆；证明：过上的任意一点，都可作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆、是内的一点，若，证明：、如图，分别是的外心与内心，是边上的高，在线段上；求证：的外接圆半径等于边上的旁切圆半径（年全国高中数学联赛）、（年中国数学奥林匹克试题）设锐角的三边长互不相等，为其外心，点在线段的延长线上，使得，过点分别作，垂足分别为，作，垂足为，记的外接圆半径为，类似地可得；求证：、设与的边分别切于点，又与的外接圆相切于点；证明：线段过的内心（曼海因定理）、中，是内心，是的中点，角的平分线交三角形的外接圆于，是关于的对称点（设点在圆内），延长交外接圆于；证明：三线段中，必有一线段是其余两线段的和、中，于，分别是与的内心，直线交于，交于，若；证明：为直角 、等腰梯形中，分别是的内心，是直线上的一点，的外接圆交的延长线于；证明： （美国-第届）、如图，四边形内接于圆，的内心依次为；证明：是矩形、三角形中，是的中点，分别是边上的点，且的外接 圆 交 线 段于若点满足：证明：、（第届）如图，两个半径不相等的圆与交于两点，两点分别在上，且线段以为中点；延长交于点，延长交于点；设线段的中垂线分别为；证明：、与相交；、若与的交点为，则三条线段能构成一个直角三角形、如图，在锐角中，的平分线与边交于，点分别在边上，使得四点共圆；证明：的外心与的内心重合的充分必要条件是 （2013-2014第届试题）7 / 7
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