2020届高三数学精品复习之(10)定比分点、平移、正余弦定理（通用）

1、2020届高三数学精品复习之定比分点、平移、正余弦定理1若，则称点分有向线段所成的比为。注意：“定比”不是“比”，点分有向线段所成的比，是用数乘向量定义的，而不是两个向量的比。当为外分点时为负，内分点时为正，为中点时=1，若起点(x1,y1)，终点(x2,y2)，则分点(x0,y0)的坐标为：x0=,y0=。由此推出：中点公式及三角形的重心公式:在ABC中，若A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），则ABC的重心G（，）。举例1设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，若，则的去值范围是：A1 B1-1 C1+ D1-1+解析：思路一：，即P分有向线段所成的比为，由定比分点坐标公式得：P（1-，）,于是有=（1-，），=(-1,1),=（，-），=（-1，1-），-1+(-1)- (1-)22-4+101-1+。思路二：记P(x,y)，由得：(x-1,y)=(-, )x=1-,y=即P（1-，），以下同“思路一”。思路三：=(-1,1)，=（-，），=（，-），=（1-，），=（-1，1-），以下同“思路一”。举例2已知ABC中，点B（-3，

2、-1），C（2，1）是定点，顶点A在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，求ABC的重心G的轨迹方程。解析：记G（x,y）,A(x0,y0),由重心公式得：x=,y=,于是有：x0=3x+1,y0=3y，而A点在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，（3x+1+2）2+(3y-4)2=4,化简得：。巩固已知P是曲线C：y=xn(nN)上异于原点的任意一点，过P的切线分别交X轴，Y轴于Q、R两点，且，求n的值。迁移已知是定义在R上的单调函数，实数， ，若，则（ ）ABCD2.关注点、函数图象（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点M(x,y)按向量(m,n)平移得到点M(x+m,y+n)；曲线C：f(x,y)=0按向量(m,n)平移得到曲线C/：f(x-m,y-n)=0。函数图象（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再按函数图象变换的规律“图进标退”操作。注意：向量无论怎样平移，其坐标都不发生变化。举例 将直线x-by+1=0按向量=（1，-1）平移后与圆x2-4x+y2+3=0相切，则k= 。解析：思路一：直线：x-by+1=0按向量

3、平移即“向右、向下各平移1个单位”，亦即：x变为x-1，y变为y+1，得直线：x-by-b=0，圆：(x-2)2+ y2=1, 直线与圆相切，则有：得b=。思路二：圆M：(x-2)2+ y2=1按向量-平移（x变成x+1,y变成y-1）后得：圆M/：(x-1)2+(y-1)2=1, 圆M/与直线：x-by+1=0相切，有得b=。思路三：圆心M（2，0）按向量-平移后得M/（1，1），M/到直线的距离为1。巩固1已知点A（1，2）、B（4，2），向量按=（1，3）平移后所得向量的坐标为（ ）（A）（3，0） （B）（4，3） （C）（-4，-3） （D）（-4，3）巩固2若把一个函数的图象按=（，2）平移后得到函数y=cosx的图象，则原图象的函数解析式为 ： Ay=cos(x+)2； By=cos(x)2；Cy=cos(x+)+2； Dy=cos(x)+2 迁移已知函数f(x)= -sinxcosx+3cos2x-,xR（1） 将f(x)表示成Asin(2x+)+B的形式（其中A0,00)则边c所对的角C为最大角，cosC=,C=arccos。举例2在ABC中，角A、B、C所对的边分别

4、为a、b、c，若a2+b2=6c2,则的值为 解析：对“切化弦”得：，再由正弦定理得，再对cosC使用余弦定理得：，将a2+b2=6c2,代入接得原式等于。巩固1 若ABC三边成等差数列，则B的范围是 ；若ABC三边成等比数列，则B的范围是 ；巩固2若三角形三边a、b、c满足a2+c2=b2+ac，且a:c=:2，求角C的大小。迁移已知ABC中，sinA(sinB+cocB)=sinC,BC=3,则ABC的周长的取值范围是 。4关注正弦定理中的“外接圆”直径，涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理。ABCPO举例 ABC中，AB=9，AC=15，BAC=1200，它所在平面外一点P到ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是： 。解析：记P在平面ABC上的射影为O，PA=PB=PCOA=OB=OC，即O是ABC的外心，只需求出OA（ABC的外接圆的半径），记为R，在ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R=14，OA=7得：PO=7。巩固已知O的半径为R，若它的内接ABC中，2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,求（1）C的大小；（2）ABC的

5、面积的最大值。迁移直线：过点，若可行域的外接圆直径为，则实数的值是_5正、余弦定理是解三角形的最主要工具；涉及三角形中的两个（或三个）角的问题常用正弦定理，只涉及三角形中的一个角常用余弦定理。关注两定理在解相关实际问题中的运用。举例1已知ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为,则的最大值为：A.2 B. C. 2 D.4BCAD解析：=，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA= 而条件中的“高”容易联想到面积， 即 ，将代入得：=2（cosA+sinA）=2sin(A+)，当A=时取得最大值2，故选A。举例2 如图，已知A、B、C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1千米，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东450方向，在B处看见塔在正 东方向，在C处看见塔在南偏东600方向，求塔到直路ABC的最短距离。 解析：已知AB=BC=1，AMB=450，CMB=300，CMA=750易见MBC与MBA面积相等，AM450= CM300即CM= AM，记AM=，则CM=，在MAC中，AC=2，由余弦定理得：4=32-22cos750，2=,记M到AC的距离为，则2sin750=2得=，塔到直路ABC的最短距离为。巩固1 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，B为半圆周长上任意一点，以AB为边作等边ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积. 巩固2 一艘海岸缉私艇巡逻至A处时发现在其正东方向20的海面B处有一艘走私船正以的速度向北偏东300的方向逃窜，缉私艇以的速度沿 的方向追击，才能最快截获走私船？若=40，则追击时间至少为 分钟。简答1、巩固3；迁移A；2、，巩固1 A，巩固2 “倒行逆施”：函数y=cosx的图象按-=（，2）平移，选D ；迁移（1），（2）3巩固1 （0，（0，；巩固2450；迁移先求A=，再用正弦定理求出：b+c=6sin(B+),于是a+b+c(6,9,也可以用余弦定理；4、巩固 （1）450，（2）；迁移3或5；5、巩固1 设，当时，有最大值.巩固2 北偏东600，10；

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