高考数学十年真题分类汇编(2010-2019)专题12圆锥曲线

1、十年高考真题分类汇编（20102019）数学专题12圆锥曲线1.(2019全国理T 10文T 12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1【答案】B【解析】如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,得m-n=2n,m+n=2a,解得m=3a2,n=a2.|AF1|=a,|AF2|=a.点A为(0,-b). kAF2=b1=b.过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知OAF2PBF2.又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.|F2P|=12.又kAF2=|BP|F2P|=|BP|12=b,|BP|=12b.点B32,12b.把点B坐标代入椭圆方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.

2、所以椭圆方程为x23+y22=1.2.(2019全国1文T 10)双曲线C: x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为()A.2sin 40B.2cos 40C.1sin50D.1cos50【答案】D【解析】由已知可得-ba=tan 130=-tan 50,则e=ca=1+ba2=1+tan250=1+sin250cos250=sin250+cos250cos250=1cos50.故选D.3.(2019北京文T 5)已知双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率是5,则a=()A.6B.4C.2D.12【答案】D【解析】双曲线的离心率e=ca=5,c=a2+1,a2+1a=5,【解析】得a=12,故选D.4.(2019天津理T 5文T 6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】由抛物线方程可得l的方程为x=-1.由y=bax,x=-1,得y1=-ba.由y=-bax,

3、x=-1,得y2=ba.AB=2ba.由|AB|=4|OF|得2ba=4,故ba=2.ca2=a2+b2a2=5a2a2.e=5,故选D.5.(2018全国1理T 11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.4【答案】B【解析】由条件知F(2,0),渐近线方程为y=33x,所以NOF=MOF=30,MON=6090. 不妨设OMN=90,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中,|OM|=2cos 30=3,所以|MN|=3.6.(2018全国2理T 5文T 6)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x【答案】A【解析】e2=c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3,ba=2.双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=bax,渐近线方程为y=2x.7.(2018全国3理T 11)设F1,F2是双曲线C: x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐

4、标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.2【答案】C【解析】如图,过点F1作OP的反向延长线的垂线,垂足为P,连接PF2,由题意可知,四边形PF1PF2为平行四边形,且PPF2是直角三角形.因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.又|PF1|=6a=|F2P|,|PP|=2a,所以|F2P|=2a=b,所以c=a2+b2=3a,所以e=ca=3.8.(2018浙江T2)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是()A.(-2,0),(2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)【答案】B【解析】c2=a2+b2=3+1=4,c=2.又焦点在x轴上,焦点坐标为(-2,0),(2,0).9.(2018全国2理T12)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14【答案】D【解析】A(-a,0),PF1

5、F2为等腰三角形,|PF2|=|F1F2|=2c.过点P作PEx轴,F1F2P=120,PF2E=60.F2E=c,PE=3c,P(2c,3c).kPA=36,PA所在直线方程为y=36(x+a).3c=36(2c+a).e=ca=14.10.(2018全国2文T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率为()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1【答案】D【解析】不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),F2PF1=90,PF2F1=60,|PF2|=c,|PF1|=3c,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.11.(2018上海T13)设P是椭圆x25+y23=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.22B.23C.25D.42【答案】C【解析】由椭圆的定义可知,椭圆上的任意点P到两个焦点的距离之和为2a=25,故选C.12.(2018天津理T 7文T 7)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于

6、x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=1【答案】C【解析】由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EFCD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线, 所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=bax的距离为|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为x23-y29=1.故选C.13.(2018全国1理T8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=()A.5B.6C.7D.8 【答案】D【解析】易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.不妨设M(1,2),N(4,4),所以F

7、M=(0,2),FN=(3,4),所以FMFN=8.14.(2017全国1理T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14 C.12D.10【答案】A【解析】由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得y2=4x,y=k1(x-1),消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,所以x1+x2=2k12+4k12.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=2k22+4k22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8216k12k22+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.15.(2017全国3理T 5)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-

8、y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1【答案】B【解析】由题意得ba=52,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为x24-y25=1.16.(2017全国1文T 5)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13B.12C.23D.32【答案】D【解析】由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-y23=1,得y=3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故APF的面积为123(2-1)=32.故选D.17.(2017天津理T5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=1【答案】B【解析】e2=1+b2a2=2,ba=1,a=b.F(-c,0),P(0,4),kPF=4c=ba=1.c=4.又a2+b2=c2=16,a2=b2=8.所求双曲线的方程为x28-y28=1.18.(2017全国3理T10文T11)已知椭圆C: x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13【答案】A【解析】以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切, 所以圆心到该直线的距离d=2abb2+a2=a,整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,从而e=ca=63.故选A.19.(2017全国1文T12)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0, 9,+)C.(0,14,+)D.(0, 4,+)【答案】A【解析】由题意,可知当点M为短轴的端

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