高考数学十年真题分类汇编(2010-2019)专题10立体几何

1、十年高考真题分类汇编（20102019）数学专题10立体几何1.(2019浙江T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是()A.158 B.162 C.182 D.324 【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+623+4+6236=162.2.(2019全国1理T12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为()A.86B.46C.26D.6【答案】D【解析】设PA=PB=PC=2x.E,F分别为PA,AB的中点,EFPB,且EF=12PB=x.ABC为边长为2的等边三角形,CF=3.又CEF=90,CE=3-x2,AE=12PA=x.在AEC

2、中,由余弦定理可知cosEAC=x2+4-(3-x2)22x.作PDAC于点D,PA=PC,D为AC的中点,cosEAC=ADPA=12x.x2+4-3+x24x=12x.2x2+1=2.x2=12,即x=22.PA=PB=PC=2.又AB=BC=AC=2,PAPBPC.2R=2+2+2=6.R=62.V=43R3=43668=6.故选D.3.(2019全国2理T7文T7)设,为两个平面,则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.,平行于同一条直线D.,垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知,“内有两条相交直线与平行”是“”的充分条件.由面面平行的性质知,“内有两条相交直线与平行”是“”的必要条件,故选B.4.(2019全国3理T8文T8)如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线【答案】B【解析】如图,连接BD,BE.

3、在BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,BM,EN是相交直线,排除选项C、D.作EOCD于点O,连接ON.作MFOD于点F,连接BF.平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD.同理,MF平面ABCD.MFB与EON均为直角三角形.设正方形ABCD的边长为2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,则EN=3+1=2,BM=34+254=7,BMEN.故选B.5.(2019浙江T8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角P-AC-B的平面角为,则()A.,B.,C.,D.,【答案】B【解析】如图G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PEVG,过点P作PFAC交VG于点F,过点D作DHAC,交BG于点H,则=BPF,=PBD,=PED,所以cos =PFPB=EGPB=DHPB,因为tan =PDEDPDBD=tan ,所以

4、.故选B.6.(2018全国3理T10文T12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.543【答案】B【解析】由ABC为等边三角形且面积为93,设ABC边长为a,则S=12a32a=93.a=6,则ABC的外接圆半径r=3223a=234.设球的半径为R,如图,OO1=R2-r2=42-(23)2=2.当D在O的正上方时,VD-ABC=13SABC(R+|OO1|)=13936=183,最大.故选B.7.(2018全国1理T7文T9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.217B.25C.3D.2【答案】B【解析】如图所示,易知N为CD的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCCM,易知CN=14CC=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.在RtMCN中,MN=MC2+NC2=25.8.(2018全国3理T3文

5、T3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【答案】A【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应为A中图形.9.(2018北京理T5文T6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ()A.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】由该四棱锥的三视图,得其直观图如图.由正视图和侧视图都是等腰直角三角形,知PD平面ABCD,所以侧面PAD和PDC都是直角三角形.由俯视图为直角梯形,易知DC平面PAD.又ABDC,所以AB平面PAD,所以ABPA,所以侧面PAB也是直角三角形.易知PC=22,BC=5,PB=3,从而PBC不是直角三角形.故选C.10.(2018上海T15)九章算术中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4B.8C.12 D.16【答

6、案】D【解析】设正六棱柱为ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,以侧面AA1B1B,AA1F1F为底面矩形的阳马有E-AA1B1B,E1-AA1B1B,D-AA1B1B,D1-AA1B1B,C-AA1F1F,C1-AA1F1F,D-AA1F1F,D1-AA1F1F,共8个,以对角面AA1C1C,AA1E1E为底面矩形的阳马有F-AA1C1C,F1-AA1C1C,D-AA1C1C,D1-AA1C1C,B-AA1E1E,B1-AA1E1E,D-AA1E1E,D1-AA1E1E,共8个,所以共有8+8=16(个),故选D.11.(2018全国1文T10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8B.62C.82D.83【答案】C【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB平面BCC1B1,连接BC1,则AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,AC1B=30,所以在RtABC1中,BC1=ABtanAC1B=23,又BC=2,所以在RtBCC1中,CC1=(23)2-22=22, 所以该长方体体积V=B

7、CCC1AB=82.12.(2018全国2理T9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22【答案】C【解析】以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图,则D1(0,0,3),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,3).AD1=(-1,0,3),DB1=(1,1,3).设异面直线AD1与DB1所成的角为.cos =AD1DB1|AD1|DB1|=225=55.异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.13.(2018全国2文T9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.72【答案】C【解析】如图,因为ABCD,所以AE与CD所成的角为EAB.在RtABE中,设AB=2,则BE=5,则tanEAB=BEAB=52,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为52.14.(2018全国1文T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为

8、8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.122B.12C.82D.10【答案】B【解析】过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=22,r=2,所以圆柱的表面积为2rl+2r2=8+4=12.15.(2018浙江T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为直四棱柱.S底=12(1+2)2=3,h=2,V=Sh=32=6.16.(2017全国2理T4文T6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90 B.63 C.42 D.36 【答案】B【解析】由三视图知,该几何体是一个圆柱截去一部分所得,如图所示.其体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12,所以该几何体的体积V=324+32612=63.17.(2017全国1理T7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10 B.12 C.14 D.16 【答案】B【解析】由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,则S梯=(2+4)22=6,所以这些梯形的面积之和为12.18.(2017全国2理T10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33【答案】C【解析】方法一:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD

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