2020高考数学备考最新压轴题(四)(通用)
5页2020年备考最新6套数学压轴题之四1.小题满分12分)已知函数f(x)=(1)当时, 求的最大值;(2) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数,使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由(2)存在符合条件 解: 因为=不妨设任意不同两点,其中则 由 知: 1+又 故故存在符合条件 12分解法二:据题意在图象上总可以在找一点使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在 故存在符合条件2.小题满分13分)在平面直角坐标系中,线段AB与y轴交于点,直线AB的斜率为k,且满足(1)证明:对任意的实数,一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C,并求出抛物线C的方程;(2)对(1)中的抛物线C,若直线与其交于M、N两点,求MON的取值范围解:(1)由已知设又设抛物线由得 设,则由弦长公式得 而,所以,即抛物线方程为6分(2)设,由而则,7分不妨设,由于,则令,则ON到OM的角为,且满足令,则,且 函数与在上皆为增函数 则,又时, 13分3.小题满分14分)设数列的前项和为,已知(nN*).(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,若存在整数,使对任意nN*且n2,都有成立,求的最大值;3)令,数列的前项和为,求证:当nN*且n2时,.解(1)由,得(n2).两式相减,得,即(n2). 于是,所以数列是公差为1的等差数列 又,所以. 所以,故.4分 (2)因为,则. 令,则.所以.即,所以数列为递增数列. 所以当n2时,的最小值为.据题意,即.又为整数,故的最大值为18. 8分(3)因为,则当n2时,. 下面证方法一:先证一个不等式,当时,令,则,在时单调递增,即当时,令, ,以上个式相加,即有 14分 方法二:先用数学归纳法证明一个加强不等式。时, 成立,故时不等式成立。假设时成立,即则当时,下面用分析法证即证即证, 故即证即证上式显然成立。(可以从到时引导学生发现中的的值,此种方法对于常数型的关于正整数的不等式的证明很凑效)方法三:又据柯西不等式,有.
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