2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（上海卷解析版）（通用）

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（上海卷，解析版）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、 不等式的解集为_；【解析】，故答案为：.或由或，解得，故答案为：.【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解.2、 若复数（为虚数单位），则_；【解析】，故答案为：【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题3、 若动点P到点F（2，0）的距离与它到直线的距离相等，则点P的轨迹方程为_；【解析】由抛物线定义知：P的轨迹为抛物线，易知焦参数，所以点P的轨迹方程为.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之直接法，属基础概念题.4、 行列式的值为_；【解析】，答案为：.【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.5、 圆C：的圆心到

2、直线：的距离_；【解析】由，得，则圆心为，故，答案为：3.【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.6、 随机变量的概率分布率由下图给出：x78910P()0.30.350.20.15则随机变量的均值是_；【解析】，故答案为：.【点评】本题考查随机变量的概率分布和均值（期望）的计算，属常规题，无难度.7、2020年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 ；【解析】依题意，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，可知程序的执行框内应填：.【点评】本题主要考查算法的程序框图由题意确定算式是基础，弄清算法流程图的逻辑结构是解题关键8、对任意不等于1的正数，函数的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是 ；【解析】因函数图象恒过点，所以其反函数的图像都过点，故答案为：.【点评】反函数是高考常考的知识点，一般难度都不大.当与反函数图像有关时，要注意反函数与原函数的图象关于直线对称.9

3、、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率 （结果用最简分数表示）.【解析】事件表示从13张黑桃和一张红桃K共14张中任取一张，故，故答案为：.【点评】本题考查等可能事件的概率及其计算，与去年相比，难度有所降低.10、在行列矩阵中，记位于第行第列的数为.当时， _；【解析】当时，由矩阵的结构可知：，故答案为：.【点评】矩阵是上海高考常考的知识点，也是一大亮点.本题考查矩阵元素的构成规律和等差数列的前项和公式.11、将直线：、：（，）轴、轴围成的封闭图形的面积记为，则 ；【解析】直线：、：（，）轴、轴围成的封闭图形为四边形，其中，则，故，于是，故答案为：1.【点评】本题将直线与直线的位置关系与数列极限结合，考查两直线的交点的求法、两直线垂直的充要条件、四边形的面积计算以及数列极限的运算法则，是本次考题的一个闪光点.12、如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为_；【解析】在折叠过程中，始终没有改变，所以最后形

4、成的四面体中，底面，故其体积，故答案为：.【点评】本题属于典型的折叠问题，解题的关键是：抓住折叠前后哪些几何元素的位置关系发生了改变，哪些位置关系没有发生改变，本题中应用正方形的性质是解题的推手.13、如图所示，直线与双曲线：的渐近线交于，两点，记，.任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 ；【解析】设，易知，由，得，即，代入整理得，故答案为：.【点评】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.14、以集合 的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1），都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有或.那么共有_36_种不同的选法.【解析】由于，都要选出，又或，则对选出的子集A中的元素个数分类：A是元子集，则满足条件的子集A和B共有种；A是二元子集，则满足条件的子集A和B共有种；故共有36种不同的选法。【点评】本题考查子集的有关概念，两个计数原理的灵活应用.注意到条件“对选出的任意两个子集A和B，必有或”，所以分类时A中元素个数最多2个，这是解题的突破口.二选择题（本大题满分20分）本

5、大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15 “（）”是“”成立的 答（ ）（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.【解析】当（）时，反之，当时，（），所以“（）”是“”成立的充分不必要条件，选A.【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式、特殊角的三角函数以及终边相同的角等基础知识，考查简易逻辑中充要条件的判断.记错诱导公式以及特殊角的三角函数，混淆条件的充分性和必要性，是这类问题出错的重要原因16 直线的参数方程是，则的方向向量可以是 答（ ） （A）（）. （B）（）. （C）（） （D）（）【解析】取参数的两个值，得直线上的对应两点，则的一个方向向量是，可以是，选C.【点评】本题主要考查直线的参数方程、方向向量、数与向量的积的几何意义以及向量的坐标运算，是一道数形结合的优秀试题.17.若是方程的解，则属于区间 答（ ）（A）（）. （B）（）. （C）（） （D）（）【解析】，设，则，所以，选C.【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，隐含着对指

6、数函数的性质、分数指数幂、连续函数的性质等知识的考查，把对方程的根的研究转化为对函数零点的考察是解题的关键.18.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，:，则此人能答（ ）（A）不能作出这样的三角形.（B）作出一个锐角三角形.（C）作出一个直角三角形. (D) 作出一个钝角三角形.【解析】设三角形三条高对应的三边长为、，面积为，所以，则边最长，且，故角为钝角，则此人能作出一个钝角三角形，选D.【点评】本题考查余弦定理在解斜三角形中的应用，即判断三角形的形状，由于条件中是三角形三条高的长度，则需转化为三边长度，从而考查运动变化观、数形结合思想.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19.（本题满分12分）已知，化简：.【解析】，原式.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的余弦、对数的概念和运算法则等基础知识，同时考查基本运算能力.20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通

7、项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由.【解析】（1）由已知得，当时，两式相减得，变形，得，又，故是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知， 解不等式SnSn+1，得，当n15时，数列单调递增；同理可得，当n15时，数列单调递减；故当n=15时，取得最小值【点评】本题主要考查等比数列的定义、数列求和公式、不等式的解法以及方程和函数思想.本题的实质是：已知递推公式（，为常数）求通项公式.21.(本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）. 【解析】(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0r0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；(3) 求作点P1、P2的步骤：1求出PQ的中点，2求出直线OE的斜率，3由知E为CD的中点，根据

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