三余弦定理·三垂线定理·三正弦定理.doc
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三余弦定理三垂线定理三正弦定理三余弦定理（最小角定理或爪子定理）设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么OAC,BAC,OAB三角的余弦关系为： cosOAC=cosBACcosOAB (cosBAC和cosOAB只能是锐角）斜线与平面内一条直线夹角的余弦值=斜线与平面所成角的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值 证明：如上图，自点O作OBAB于点B，过B作BCAC于C，连OC，则易知ABC、AOC、ABO均为直角三角形 辅助记忆：这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。三垂线定理（三余弦定理的特殊情况）平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。三正弦定理设二面角MABN的度数为，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为，和平面N所成的角为，则sin=sinsin（如图）证明：如上图，过C作CO平面N于点O，过O作直线OB二面角的棱于点B，连OA，CB，则易知CAO，CBO，ABC均为直角三角形于是，sin=，sin=，sin= sin=sinsin附：第 2 页 共 2 页
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