2020届湖北省武汉市高三下学期3月质量检测数学(理)试题

1、武武汉汉市市 2020 届届高高中中毕毕业业生生学学习习质质量量检检测测 理理科科数数学学 武武汉汉市市教教育育科科学学研研究究院院命命制制 本本试试卷卷共共 5 页页 23 题题 含含选选考考题题 全全卷卷满满分分 150 分分 考考试试用用时时 120 分分钟钟 祝祝考考试试顺顺利利 注注意意事事项项 1 答答题题前前 先先将将自自己己的的姓姓名名 准准考考证证号号填填写写在在答答题题卡卡上上 2 选选择择题题的的作作答答 每每小小题题选选出出答答案案后后 请请用用黑黑色色签签字字笔笔填填写写在在答答题题卡卡上上对对应应的的表表格格中中 3 非非选选择择题题的的作作答答 用用黑黑色色签签字字笔笔直直接接答答在在答答题题卡卡上上对对应应的的答答题题区区域域内内 4 选选考考题题的的作作答答 先先把把所所选选题题目目的的题题号号用用黑黑色色签签字字笔笔填填写写在在答答题题卡卡上上指指定定的的位位置置 答答案案写写在在 答答题题卡卡上上对对应应的的答答题题区区域域内内 5 请请学学生生自自行行打打印印答答题题卡卡 不不能能打打印印的的 可可在在 A4 白白纸纸上上答答题题 选选择择题题请

2、请标标明明题题号号 写写清清答答 案案 非非选选择择题题请请标标明明题题号号 自自行行画画定定答答题题区区域域 并并在在相相应应区区域域内内答答题题 需需要要制制图图的的请请自自行行制制 图图 6 答答题题完完毕毕 请请将将答答案案用用手手机机拍拍照照并并上上传传给给学学校校 原原则则上上一一张张 A4 拍拍成成一一张张照照片片 要要注注意意照照 片片的的清清晰晰 不不要要多多拍拍 漏漏拍拍 一一 选选择择题题 本本题题共共 12 小小题题 每每小小题题 5 分分 共共 60 分分 在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中 只只有有一一 项项是是符符合合题题目目要要求求的的 1 已知复数 z 1 2i 1 ai a R 若 z R 则实数 a A 1 2 B 1 2 C 2D 2 答案 D 解析 因为 z 1 2i 1 ai 1 22aai 又因为 z R 所以20a 解得 a 2 故选 D 2 已知集合 M x 1 x 2 N x x x 3 0 则 M N A 3 2 B 3 2 C 1 0 D 1 0 答案 C 解析 因为 N x x x 3 0 x 3 x 0 又因为

3、M x 1 x 2 所以 M N x 1 x 0 故选 C 3 同时抛掷两个质地均匀的骰子 向上的点数之和小于 5 的概率为 A 1 6 B 5 18 C 1 9 D 5 12 答案 A 解析 共有6 6 36 种情况 满足条件的有 1 11 21 32 1 2 2 3 1 6种情况 故 61 366 p 故选 A 4 在正项等比数列 an 中 a5 a1 15 a4 a2 6 则 a3 A 2B 4C 1 2 D 8 答案 B 解析 4 5111 15aaa qa 3 4211 6aaa qa q 解得 1 1 2 a q 或 1 16 1 2 a q 舍去 故 2 31 4aa q 故选 B 5 执行如图所示的程序框图 输出的 s 的值为 A 5 3 B 8 5 C 13 8 D 21 13 答案 C 解析 第一次循环 2 1si 第二次循环 3 2 2 si 第三次循环 5 3 3 si 第四次循环 8 4 5 si 第四次循环 13 5 8 si 此时不满足4i 输出 13 8 s 故选 C 6 已知等边 ABC 内接于圆 x2 y2 1 且 P 是圆 上一点 则 PAPBPC

4、 的最大值是 A 2 B 1C 3 D 2 答案 D 解析 如图所示建立直角坐标系 则 1 0A 13 22 B 13 22 C 设 cos sinP 则 1 cos sin 12cos 2si n PAPBPC 222 1 cos 1 2cos 2sin2coscos12sin1 cos2 当 即 1 0P 时等号成立 故选 D 7 已知函数 f x sin2x sin2 x 3 则 f x 的最小值为 A 1 2 B 1 4 C 3 4 D 2 2 答案 A 解析 已知函数 f x sin2x sin2 x 3 2 1 cos 2 1 cos23 22 x x 1 cos23sin21 11cos 2 22223 xx x 因为 cos 21 1 3 x 所以 f x 的最小值为 1 2 故选 A 8 已知数列 an 满足 a1 1 an an 1 1 2 4anan 1 且 an 1 an n N 则数列 an 的通项公式 an A 2nB n2C n 2D 3n 2 答案 B 解析 2 11 14 nnnn aaa a 故 11 12 nnnn aaa a 即 2 1 1 nn

5、 aa 即 1 1 nn aa 1 1a 故 n a为首项是1 公差为1的等差数列 故 n an 2 n an 故选 B 点睛 本题考查了数列的通项公式 化简得到 1 1 nn aa 是解题的关键 9 已知 a 0 80 4 b 0 40 8 c log84 则 A a b cB a c bC c a bD b cb 0 上 点 P 在第一象限 点 P 关于原点 O 的对称点为 A 点 P 关于 x 轴的对称点为 Q 设 3 4 PDPQ 直线 AD 与椭圆 的另一个交点为 B 若 PA PB 则椭圆 的离心率 e A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 3 答案 C 解析 设 11 P x y 则 11 Axy 11 Q xy 3 4 PDPQ 则 1 1 2 y D x 设 22 B xy 则 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab 两式相减得到 12121212 22 xxxxyyyy ab 2 1212 2 1212 PB yyxxb k xxayy ADAB kk 即 112 112 4 yyy xxx 12 1 112 4 PA yyy k

6、xxx PAPB 故 1 PAPB kk 即 2 2 41 b a 故 22 34ac 故 3 2 e 故选 C 12 已知关于 x 的不等式 3 x e x x alnx 1 对于任意 x l 恒成立 则实数 a 的取值范围为 A 1 e B 3 C 2 D 2 e2 答案 B 解析 根据题意 33ln3ln 3 1 111 lnlnlnln x xxxxx e x x exeexex x a xxxx 设 1 x f xex 则 1 x fxe 则函数在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 故 min 00f xf 故 1 x ex 根据1 x ex 3ln 13ln11 3 lnln xx exxxx xx 故3a 故选 B 二二 填填空空题题 本本题题共共 4 小小题题 每每小小题题 5 分分 共共 20 分分 13 已知以 x 2y 0 为渐近线的双曲线经过点 4 1 则该双曲线的标准方程为 答案 2 2 1 123 y x 解析 双曲线渐近线为20 xy 则设双曲线方程为 22 4xy 代入点 4 1 则12 故双曲线方程为 2 2 1 123 y x 故答案为 2 2 1

7、 123 y x 14 若函数 f x cosxa sinx 在 0 2 上单调递减 则实数 a的取值范围为 答案 a 1 解析 因为函数 f x cosxa sinx 在 0 2 上单调递减 所以 2 1cos 0 sin ax fx x 在 0 2 上恒成立 即 1 cos a x 在 0 2 上恒成立 因为0 2 x 所以 cos0 1x 所以 1 1 cosx 所以1a 故答案为 1a 15 根据气象部门预报 在距离某个码头 A 南偏东 45 方向的 600km 处的热带风暴中心 B 正以 30km h 的速度 向正北方向移动 距离风暴中心 450km 以内的地区都将受到影响 从现在起经过 小时后该码头 A 将受到 热带风暴的影响 精确到 0 01 答案 9 14h 解析 建立如图所示直角坐标系 设风暴中心最初在 B 处 经 th 后到达 C 处 自 B 向 x 轴作垂线 垂足为 D 若在点 C 处受到热带风暴的影响 则 OC 450 即 22 ADDC 450 即 22 60045 6004530 cossint 450 两边平方并化简 整理得 t2 20 2t 175 0

8、t 10 25 或10 2 5 10 24159 所以9 14时后码头将受到热带风暴的影响 16 在三棱锥 S ABC 中 底面 ABC 是边长为 3 的等边三角形 SA 3 SB 23 若此三棱锥外接球的 表面积为 21 则二面角 S AB C 的余弦值为 答案 1 2 解析 球的表面积为 2 421R 故 21 2 R 222 SASBAB 故 2 SAB SAB 的外接圆圆心为SB中点 2 O 2 3r ABC 的外接圆圆心为三角形中心 1 O 1 3 3 3 2 2 r 设球心为O 则 2 OO 平面SAB 1 OO 平面ABC 1 CO与AB交于点D 易知D为AB中点 连接DO 2 DO 易知CDAB 2 O DAB 故 2 CDO 为二面角SABC 的平面角 故 22 11 3 2 OORr 22 22 3 2 OORr 1 13 32 DOCD 2 13 22 DOSA 1 tan3ODO 故 1 3 ODO 2 tan3ODO 故 2 3 ODO 故 12 2 3 O DO 12 1 cos 2 O DO 故答案为 1 2 三三 解解答答题题 共共 70 分分 解解答答

9、应应写写出出文文字字说说明明 证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 第第 17 21 题题为为必必考考题题 每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答 第第 22 23 题题为为选选考考题题 考考生生根根据据要要求求作作答答 一一 必必考考题题 共共 60 分分 17 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 a 4 tantan tantan ABcb ABc 1 求 A 的余弦值 2 求 ABC 面积的最大值 答案 1 1 2 2 4 3 解析 1 tantan tantan ABcb ABc 则 sincoscossinsinsin sincoscossinsin ABABCB ABABC 即 sinsinsinABABB 故sin2sincosBBA sin0B 故 1 cos 2 A 2 222 2cosabcbcA 故 22 162bcbcbcbc 故16bc 当4bc 时等号成立 1 cos 2 A 故 3 sin 2 A 1 sin4 3 2 SbcA 故 ABC 面积的最大值为4 3 18 如图 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D

10、1中 P Q L 分别为棱 A1D1 C1D1 BC 的中点 1 求证 AC QL 2 求点 A 到平面 PQL 的距离 答案 1 证明见解析 2 3 6 a 解析 1 如图所示 作QMCD 于M 易知M为CD中点 L为BC中点 故ACML QMCD 故QM 平面ABCD AC 平面ABCD 故QMAC QMMLM 故AC 平面QML QL 平面QML 故ACQL 2 取AB中点N 连接 PN LN 易知 PQ LN ACQL 故PQLN为矩形 故A到平面PQL的距离等于A到平面PNL的距离 故 3 111 332 2 224 P ANL a aa VSha 2 22 1123 22224 PNL a SNL NPaaa P ANLA PNL VV 即 3 2 13 3424 a ad 故 3 6 da 点睛 本题考查了线线垂直 点面距离 意在考查学生的空间想象能力和计算能力 19 已知抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F P 是抛物线 上一点 且在第一象限 满足FP 2 2 3 1 求抛物线 的方程 2 已知经过点 A 3 2 的直线交抛物线 于 M N 两点 经过定点 B 3

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